Діагоналі трапеції. Діагоналі трапеції Формули знаходження діагоналей трапеції через висоту
- Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції дорівнює половині різниці підстав
- Трикутники, утворені підставами трапеції і відрізками діагоналей до точки їх перетину - подібні
- Трикутники, утворені відрізками діагоналей трапеції, сторони яких лежать на бічних сторонах трапеції - рівновеликі (мають однакову площу)
- Якщо продовжити бічні сторони трапеції в сторону меншого підстави, то вони перетнуться в одній точці з прямою, що з'єднує середини підстав
- Відрізок, що з'єднує підстави трапеції, і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, ділиться цією точкою в пропорції, рівної співвідношенню довжин підстав трапеції
- Відрізок, паралельний підстав трапеції, і проведений через точку перетину діагоналей, ділиться цією точкою навпіл, а його довжина дорівнює 2ab / (a \u200b\u200b+ b), де a і b - підстави трапеції
Властивості відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції
З'єднаємо середини діагоналей трапеції ABCD, в результаті чого у нас з'явиться відрізок LM.
Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, лежить на середній лінії трапеції.
даний відрізок паралельний підстав трапеції.
Довжина відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює полуразность її підстав.
LM \u003d (AD - BC) / 2
або
LM \u003d (a-b) / 2
Властивості трикутників, утворених діагоналями трапеції
Трикутники, які утворені підставами трапеції і точкою перетину діагоналей трапеції - є подібними.
Трикутники BOC і AOD є подібними. Оскільки кути BOC і AOD є вертикальними - вони рівні.
Кути OCB і OAD є внутрішніми навхрест лежать при паралельних прямих AD і BC (підстави трапеції паралельні між собою) і січною прямий AC, отже, вони рівні.
Кути OBC і ODA рівні по тій же самій причині (внутрішні навхрест лежачі).
Так як всі три кути одного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого трикутника, то дані трикутники подібні.
Що з цього випливає?
Для вирішення завдань з геометрії подобу трикутників використовується наступним чином. Якщо нам відомі значення довжин двох відповідних елементів подібних трикутників, то ми знаходимо коефіцієнт подібності (ділимо одне на інше). Звідки довжини всіх інших елементів співвідносяться між собою точно таким же значенням.
Властивості трикутників, що лежать на бічній стороні і діагоналях трапеції
Розглянемо два трикутника, що лежать на бічних сторонах трапеції AB і CD. Це - трикутники AOB і COD. Незважаючи на те, що розміри окремих сторін у даних трикутників можуть бути абсолютно різні, але площі трикутників, утворених бічними сторонами і точкою перетину діагоналей трапеції рівні, Тобто трикутники є рівновеликими.
Якщо продовжити боку трапеції в сторону меншого підстави, то точка перетину сторін буде збігатися з прямою лінією, яка проходить через середини підстав.
Таким чином, будь-яка трапеція може бути добудована до трикутника. При цьому:
- Трикутники, утворені підставами трапеції із загальною вершиною в точці перетину продовжених бічних сторін є подібними
- Пряма, що з'єднує середини підстав трапеції, є, одночасно, медианой побудованого трикутника
Властивості відрізка, що з'єднує підстави трапеції
Якщо провести відрізок, кінці якого лежать на підставах трапеції, який лежить на точці перетину діагоналей трапеції (KN), то співвідношення становило його відрізків від сторони підстави до точки перетину діагоналей (KO / ON) дорівнюватиме співвідношенню підстав трапеції (BC / AD).
KO / ON \u003d BC / AD
Дана властивість випливає з подібності відповідних трикутників (див. Вище).
Властивості відрізка, паралельного підстав трапеції
Якщо провести відрізок, паралельний підстав трапеції і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, то він буде мати наступні властивості:
- Заданий відрізок (KM) ділиться точкою перетину діагоналей трапеції навпіл
- довжина відрізка, Що проходить через точку перетину діагоналей трапеції і паралельного підставах, дорівнює KM \u003d 2ab / (a \u200b\u200b+ b)
Формули для знаходження діагоналей трапеції
a, b - підстави трапеції
c, d - бічні сторони трапеції
d1 d2 - діагоналі трапеції
α β - кути при більшому підставі трапеції
Формули знаходження діагоналей трапеції через підстави, бічні сторони і кути при підставі
Перша група формул (1-3) відображає одне з основних властивостей діагоналей трапеції:
1. Сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів бічних сторін плюс подвоєний добуток її підстав. Дана властивість діагоналей трапеції може бути доведено як окрема теорема
2 . Дана формула отримана шляхом перетворення попередньої формули. Квадрат другий діагоналі перекинутий через знак рівності, після чого з лівої і правої частини виразу витягнутий квадратний корінь.
3 . Ця формула знаходження довжини діагоналі трапеції аналогічна попередній, з тією різницею, що в лівій частині виразу залишена інша діагональ
Наступна група формул (4-5) є аналогічною за змістом і висловлює аналогічне співвідношення.
Група формул (6-7) дозволяє знайти діагональ трапеції, якщо відомі більше підставу трапеції, одна бічна сторона і кут при підставі.
Формули знаходження діагоналей трапеції через висоту
завдання.
Діагоналі трапеції ABCD (AD | | ВС) перетинаються в точці О. Знайдіть довжину підстави ВС трапеції, якщо підстава АD \u003d 24 см, довжина АТ \u003d 9см, довжина ОС \u003d 6 см.
Рішення.
Рішення даного завдання по ідеології абсолютно ідентично попереднім завданням.
Трикутники AOD і BOC є подібними за трьома кутами - AOD і BOC є вертикальними, а інші кути попарно рівні, оскільки утворені перетином одній прямій і двох паралельних прямих.
Оскільки трикутники подібні, то все їх геометричні розміри відносяться між собою, як геометрично розміри відомих нам по умові завдання відрізків AO і OC. Тобто
AO / OC \u003d AD / BC
9/6 \u003d 24 / BC
BC \u003d 24 * 6/9 \u003d 16
відповідь: 16 см
Завдання.
У трапеції ABCD відомо, що AD \u003d 24, ВС \u003d 8, АС \u003d 13, BD \u003d 5√17. Знайдіть площу трапеції. 
Рішення .
Для знаходження висоти трапеції з вершин меншого підстави B і C опустимо на більше підставу дві висоти. Оскільки трапеція нерівнобічні - то позначимо довжину AM \u003d a, довжину KD \u003d b ( не плутати з позначеннями в формулі знаходження площі трапеції). Оскільки підстави трапеції паралельні, а ми опускали дві висоти, перпендикулярних більшого основи, то MBCK - прямокутник.
значить
AD \u003d AM + BC + KD
a + 8 + b \u003d 24
a \u003d 16 - b
Трикутники DBM і ACK - прямокутні, так їх прямі кути утворені висотами трапеції. Позначимо висоту трапеції через h. Тоді по теоремі Піфагора
H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
і
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2
Врахуємо, що a \u003d 16 - b, тоді в першому рівнянні
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2
Підставами значення квадрата висоти в друге рівняння, отримане по Теоремі Піфагора. отримаємо:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 \u003d 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 \u003d -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 \u003d -256
-64b \u003d -768
b \u003d 12
Таким чином, KD \u003d 12
Звідки
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h \u003d 5
Знайдемо площу трапеції через її висоту і полусумму підстав
, Де a b - основи трапеції, h - висота трапеції
S \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 см 2
відповідь: Площа трапеції дорівнює 80 см 2.
Якщо в рівнобедреної трапеції діагоналі перпендикулярні, при вирішенні завдання буде корисний наступний теоретичний матеріал.
1. Якщо в рівнобедреної трапеції діагоналі перпендикулярні, висота трапеції дорівнює напівсумі підстав.
Проведемо через точку C пряму CF, паралельну BD, і продовжимо пряму AD до перетину з CF.
Чотирикутник BCFD - паралелограм (BC∥ DF як підстави трапеції, BD∥ CF з побудови). Значить, CF \u003d BD, DF \u003d BC і AF \u003d AD + BC.
Трикутник ACF прямокутний (якщо пряма перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і інший прямий). Оскільки в рівнобедреної трапеції діагоналі рівні, а CF \u003d BD, то CF \u003d AC, тобто трикутник ACF - рівнобедрений з основою AF. Значить, його висота CN є також медіаною. А так як медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, то
що в загальному вигляді можна записати як
де h - висота трапеції, a і b - її заснування.
2. Якщо в рівнобедреної трапеції діагоналі перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії.
Так як середня лінія трапеції m дорівнює напівсумі підстав, то
3. Якщо в рівнобедреної трапеції діагоналі перпендикулярні, то площа трапеції дорівнює квадрату висоти трапеції (або квадрату напівсуми підстав, або квадрату середньої лінії).
Так як площа трапеції знаходиться за формулою
а висота, полусумма підстав і середня лінія равнобокой трапеції з перпендикулярними діагоналями рівні між собою:
4. Якщо в рівнобедреної трапеції діагоналі перпендикулярні, то квадрат її діагоналі дорівнює половині квадрата суми підстав, а також подвоєному квадрату висоти і подвоєному квадрату середньої лінії.
Так як площа опуклого чотирикутника можна знайти через його діагоналі і кут між ними за формулою
Знову Піфагорів трикутник :))) Якщо шматок великої діагоналі від великого підстави до точки перетину позначити х, то з очевидного подібності прямокутних трикутників з однаковими кутами следует.х / 64 \u003d 36 / х, звідси х \u003d 48; 48/64 \u003d 3 / 4, тому ВСІ прямокутні трикутники, утворені підставами, діагоналями і бічною стороною, перпендикулярної основи, подібні трикутнику зі сторонами 3,4,5. Виняток становить тільки трикутник, утворений шматками діагоналей і косою бічний стороною, але він нам не цікавий :). (Щоб було зрозуміло, подобу, про який йде мова - всього лише назвати по ІНШОМУ тригонометричні функції кутів :) ми вже знаємо тангенс кута між великою діагоналлю і більшими підставами, він дорівнює 3/4, значить синус дорівнює 3/5, а косинус 4 / 5 :)) Відразу можна написати
Відповіді. Нижня основа 80 висота трапеції будуть 60, а верхнє - 45. (36 * 5/4 \u003d 45, 64 * 5/4 \u003d 80, 100 * 3/5 \u003d 60)
Схожі завдання:
1. Підстава призми - трикутник, у якого одна сторона дорівнює 2 см, а дві інші - по 3 см. Бічне ребро дорівнює 4 см і становить з площиною основи кут 45. Знайдіть ребро рівновеликого куба.
2. Підставою похилій призми служить рівносторонній трикутник зі стороною а; одна з бічних граней перпендикулярна площині підстави і являє собою ромб, у якого менша діагональ дорівнює с. Знайдіть об'єм призми.
3. У похилій призмі основа - прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює с, один гострий кут 30, бічне ребро дорівнює до і становить з площиною основи кут 60. Знайдіть об'єм призми.
1. Знайдіть сторону квадрата якщо його діагональ складає 10 см
2. У рівнобедреної трапеції тупий кут дорівнює 135 градусів менше підставу одно 4 см, а висота 2 см знайдіть площа трапеції?
3. Висота трапеції в 3 рази більше одного з підстав, але вдвічі менше іншого. Знайдіть основи трапеції і висоту якщо площа трапеції дорівнює 168 см в квадраті?
4. У трикутнику АВС кут А \u003d В кутку \u003d 75 градусів. Знайдіть ВС якщо площа трикутника дорівнює 36 см в квадраті.
1. У трапеції ABCD з бічними сторонами AB і CD діагоналі пересекаються в точці О
а) Порівняйте площі трикутників ABD і ACD
б) Порівняйте площі трикутників ABO і CDO
в) Доведіть що OA * OB \u003d OC * OD
2. Підстава рівнобедреного трикутника відноситься до бічної сторони як 4: 3, а висота, проведена до основи, дорівнює 30 см. Знайдіть відрізки, на які цю висоту ділить бісектриса кута при підставі.
3. Пряма AM -касательная до окружності, AB-хорда цієї окружності. Доведіть що кут MAB вимірюється половиною дуги AB, розташованої усередині кута MAB.