А н в арифметичній прогресії. Формула n-го члена арифметичної прогресії. Середнє арифметичне і рівні відступи
Сума арифметичній прогресії.
Сума арифметичній прогресії - штука проста. І за змістом, і за формулою. Але завдання по цій темі бувають всякі. Від елементарних до цілком солідних.
Спочатку розберемося зі змістом і формулою суми. А потім і повирішуємо. Свого задоволення.) Сенс суми простий, як мукання. Щоб знайти суму арифметичної прогресії треба просто акуратно скласти всі її члени. Якщо цих членів мало, можна складати без жодних формул. Але якщо багато, або дуже багато ... складання напружує.) У цьому випадку рятує формула.
Формула суми виглядає просто:
Розберемося, що за буковки входять в формулу. Це багато прояснить.
S n - сума арифметичної прогресії. результат складання всіхчленів, з першогопо останній.Це важливо. складаються саме всічлени поспіль, без пропусків і перескоків. І, саме, починаючи з першого.У завданнях, типу знайти суму третього і восьмого членів, або суму членів з п'ятого по двадцятий - пряме застосування формули розчарує.)
a 1 - першийчлен прогресії. Тут все зрозуміло, це просто першийчисло ряду.
a n- останнійчлен прогресії. Останнє число ряду. Не дуже звичне назва, але, в застосуванні до суми, дуже навіть годиться. Далі самі побачите.
n - номер останнього члена. Важливо розуміти, що у формулі цей номер збігається з кількістю складаються членів.
Визначимося з поняттям останньогочлена a n. Питання на засипку: який член буде останнім,якщо дана нескінченнаарифметична прогресія?)
Для впевненої відповіді потрібно розуміти елементарний сенс арифметичної прогресії і ... уважно читати завдання!)
У завданні на пошук суми арифметичної прогресії завжди фігурує (прямо чи опосередковано) останній член, яким слід обмежитися.Інакше кінцевої, конкретної суми просто не існує.Для вирішення не має значення, яка задана прогресія: кінцева, або нескінченна. Не має значення, як вона задана: поруч чисел, або формулою n-го члена.
Найголовніше - розуміти, що формула працює з першого члена прогресії до члена c номером n.Власне, повна назва формули виглядає ось так: сума n перших членів арифметичної прогресії.Кількість цих найперших членів, тобто n, Визначається виключно завданням. У завданні вся ця цінна інформація частенько зашифрована, так ... Але нічого, в прикладах нижче ми ці секрети пороззявляли.)
Приклади завдань на суму арифметичної прогресії.
Насамперед, корисна інформація:
Основна складність в завданнях на суму арифметичної прогресії полягає в правильному визначенні елементів формули.
Ці самі елементи укладачі завдань шифрують з безмежною фантазією.) Тут головне - не боятися. Розуміючи суть елементів, досить просто їх розшифрувати. Розберемо докладно кілька прикладів. Почнемо з завдання на основі реального ДПА.
1. Арифметична прогресія задана умовою: a n = 2n-3,5. Знайдіть суму перших 10 її членів.
Гарне завдання. Легке.) Нам для визначення суми за формулою чого треба знати? перший член a 1, Останній член a n, Та номер останнього члена n.
Де взяти номер останнього члена n? Так там же, в умови! Там сказано: знайти суму перших 10 членів.Ну і з яким номером буде останній,десятий член?) Ви не повірите, його номер - десятий!) Стало бути, замість a nв формулу будемо підставляти a 10, А замість n- десятку. Повторю, номер останнього члена збігається з кількістю членів.
залишилося визначити a 1і a 10. Це легко обчислюється за формулою n-го члена, яка дана в умові завдання. Не знаєте, як це зробити? Відвідайте попередній урок, без цього - ніяк.
a 1= 2 · 1 - 3,5 = -1,5
a 10= 2 · 10 - 3,5 = 16,5
S n = S 10.
Ми з'ясували значення всіх елементів формули суми арифметичної прогресії. Залишається підставити їх, та порахувати:
Ось і всі справи. Відповідь: 75.
Ще завдання на основі ДПА. Трохи складніше:
2. Дана арифметична прогресія (a n), різниця якої дорівнює 3,7; a 1 = 2,3. Знайти суму перших 15 її членів.
Відразу пишемо формулу суми:
Ця формулка дозволяє нам знайти значення будь-якого члена за його номером. Шукаємо простий підстановкою:
a 15 = 2,3 + (15-1) · 3,7 = 54,1
Залишилося підставити всі елементи в формулу суми арифметичної прогресії і порахувати відповідь:
Відповідь: 423.
До речі, якщо в формулу суми замість a nпросто підставимо формулу n-го члена, отримаємо:
Наведемо подібні, отримаємо нову формулу суми членів арифметичної прогресії:
 |
Як бачимо, тут не потрібно n-й член a n. У деяких задачах ця формула здорово виручає, так ... Можна цю формулу запам'ятати. А можна в потрібний момент її просто вивести, як тут. Адже формулу суми і формулу n-го члена всяко треба пам'ятати.)
Тепер завдання у вигляді короткої шифровки):
3. Знайти суму всіх позитивних двозначних чисел, кратних трьом.
ВО як! Ні тобі першого члена, ні останнього, ні прогресії взагалі ... Як жити !?
Доведеться думати головою і витягувати з умови все елементи суми арифметичної прогресії. Що таке двозначні числа - знаємо. З двох циферок складаються.) Яке двозначне число буде першим? 10, мабуть.) А останнєдвозначне число? 99, зрозуміло! За ним уже тризначні підуть ...
Кратні трьом ... Гм ... Це такі числа, які діляться на три без остачі, ось! Десятка не ділиться на три, 11 не ділиться ... 12 ... ділиться! Так, дещо вимальовується. Уже можна записати ряд за умовою задачі:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Чи буде цей ряд арифметичною прогресією? Звісно! Кожен член відрізняється від попереднього строго на трійку. Якщо до члена додати 2, або 4, скажімо, результат, тобто нове число, вже не поділиться без остачі на 3. До купи можна відразу і різниця арифметичної прогресії визначити: d = 3.Стане в нагоді!)
Отже, можна сміливо записати деякі параметри прогресії:
А якою буде номер nостаннього члена? Той, хто думає, що 99 - фатально помиляється ... Номери - вони завжди поспіль йдуть, а члени у нас - через трійку перескакують. Чи не збігаються вони.
Тут два шляхи вирішення. Один шлях - для сверхтрудолюбівих. Можна розписати прогресію, весь ряд чисел, і порахувати пальчиком кількість членів.) Другий шлях - для вдумливих. Потрібно згадати формулу n-го члена. Якщо формулу застосувати до нашого завдання, отримаємо, що 99 - це тридцятий член прогресії. Тобто n = 30.
Дивимося на формулу суми арифметичної прогресії:
Дивимося, і радіємо.) Ми витягли з умови задачі все необхідне для розрахунку суми:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Залишається елементарна арифметика. Підставляємо числа в формулу і вважаємо:
Відповідь: 1665
Ще один тип популярних задачок:
4. Дана арифметична прогресія:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Знайти суму членів з двадцятого по тридцять четвертий.
Дивимося на формулу суми і ... засмучуємося.) Формула, нагадаю, вважає суму з першогочлена. А в задачі потрібно вважати суму з двадцятого ...Чи не спрацює формула.
Можна, звичайно, розписати всю прогресію в ряд, так поскладати члени з 20 по 34. Але ... якось тупо і довго виходить, правда?)
Є більш елегантне рішення. Розіб'ємо наш ряд на дві частини. Перша частина буде з першого члена по дев'ятнадцятий.Друга частина - з двадцятого по тридцять чётвёртий.Зрозуміло, що якщо ми порахуємо суму членів перший частини S 1-19, Та складемо з сумою членів другої частини S 20-34, Отримаємо суму прогресії з першого члена по тридцять четвертий S 1-34. Ось так:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Звідси видно, що знайти суму S 20-34можна простим відніманням
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Обидві суми в правій частині вважаються з першогочлена, тобто до них цілком застосовна стандартна формула суми. Приступаємо?
Витягуємо з умови задачі парметри прогресії:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Для розрахунку сум перших 19 і перших 34 членів нам потрібні будуть 19-й і 34-й члени. Вважаємо їх за формулою n-го члена, як в завданні 2:
a 19= -21,5 + (19-1) · 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 + (34-1) · 1,5 = 28
Залишається всього нічого. Від суми 34 членів відняти суму 19 членів:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Відповідь: 262,5
Одне важливе зауваження! У вирішенні цього завдання є дуже корисна фішка. Замість прямого розрахунку того, що потрібно (S 20-34),ми порахували то, що, здавалося б, не потрібно - S 1-19.А вже потім визначили і S 20-34, Відкинувши від повного результату непотрібне. Такий "фінт вухами" частенько рятує в злих військово-політичні завдання.)
У цьому уроці ми розглянули завдання, для вирішення яких достатньо розуміти сенс суми арифметичної прогресії. Ну і пару формул знати треба.)
При вирішенні будь-якої задачі на суму арифметичної прогресії рекомендую відразу виписувати дві головні формули з цієї теми.
Формулу n-го члена:
Ці формули відразу підкажуть, що потрібно шукати, в якому напрямку думати, щоб вирішити задачу. Допомагає.
А тепер завдання для самостійного рішення.
5. Знайти суму всіх двозначних чисел, які не діляться без остачі на три.
Круто?) Підказка прихована в зауваженні до задачі 4. Ну і задачка 3 допоможе.
6. Арифметична прогресія задана умовою: a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Знайдіть суму перших 24 її членів.
Незвично?) Це рекуррентная формула. Про неї можна прочитати в попередньому уроці. Не ігноруйте посилання, такі завдання в ДПА частенько зустрічаються.
7. Вася накопичив до Свята грошей. Цілих 4550 рублів! І вирішив подарувати коханій людині (собі) кілька днів щастя). Пожити красиво, ні в чому собі не відмовляючи. Витратити в перший день 500 рублів, а в кожний наступний день витрачати на 50 рублів більше, ніж в попередній! Поки не скінчиться запас грошей. Скільки днів щастя вийшло у Васі?
Складно?) Чи допоможе додаткова формула з завдання 2.
Відповіді (в безладді): 7, 3240, 6.
Якщо Вам подобається цей сайт ...
До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)
можна познайомитися з функціями і похідними.
У математиці є своя краса, як у живописі і поезії.
Російський учений, механік Н.Є. Жуковський
Дуже розповсюдженими завданнями на вступних випробуванняхз математики є завдання, пов'язані з поняттям арифметичній прогресії. Для успішного вирішення таких завдань необхідно добре знати властивості арифметичної прогресії і мати певні навички їх застосування.
Попередньо нагадаємо основні властивості арифметичної прогресії і наведемо найбільш важливі формули, пов'язані з цим поняттям.
Визначення. числова послідовність, в якій кожний наступний член відрізняється від попереднього на одне і те ж число, називається арифметичною прогресією. При цьому числоназивається різницею прогресії.
Для арифметичної прогресії справедливі формули
, (1)
де. Формула (1) називається формулою загального члена арифметичної прогресії, а формула (2) являє собою основну властивість арифметичної прогресії: кожен член прогресії збігається із середнім арифметичним своїх сусідніх членів і.
Відзначимо, що саме через це властивості розглянута прогресія називається «арифметичної».
Наведені вище формули (1) і (2) узагальнюються наступним чином:
(3)
Для обчислення сумиперших членів арифметичної прогресіїзазвичай застосовується формула
(5) де і.
Якщо взяти до уваги формулу (1), то з формули (5) випливає
Якщо позначити, то
де. Так як, то формули (7) і (8) є узагальненням відповідних формул (5) і (6).
Зокрема , з формули (5) слід, що
До числа маловідомих більшості учнів відноситься властивість арифметичної прогресії, сформульоване за допомогою наступної теореми.
Теорема.Якщо то
Доведення.Якщо то
Теорема доведена.
наприклад, використовуючи теорему, Можна показати, що
Перейдемо до розгляду типових прикладів розв'язання задач на тему «Арифметична прогресія».
Приклад 1.Нехай і. Знайти.
Рішення.Застосовуючи формулу (6), отримуємо. Так як і, то або.
Приклад 2.Нехай в три рази більше, а при діленні на в приватному виходить 2 і в залишку 8. Визначити і.
Рішення.З умови прикладу випливає система рівнянь
Так як,, і, то з системи рівнянь (10) отримуємо
Рішенням даної системи рівнянь є і.
Приклад 3.Знайти, якщо і.
Рішення.Відповідно до формули (5) маємо або. Однак, використовуючи властивість (9), отримуємо.
Так як і, то з рівності випливає рівнянняабо.
Приклад 4.Знайти, якщо.
Рішення.За формулою (5) маємо
Однак, використовуючи теорему, можна записати
Звідси і з формули (11) отримуємо.
приклад 5. Дано:. Знайти.
Рішення.Так як, то. Однак, тому.
Приклад 6.Нехай, і. Знайти.
Рішення.Використовуючи формулу (9), отримуємо. Тому, якщо, то або.
Так як і, то тут маємо систему рівнянь
Вирішуючи яку, отримуємо і.
Натуральним коренем рівнянняє.
Приклад 7.Знайти, якщо і.
Рішення.Так як за формулою (3) маємо, що, то з умови задачі випливає система рівнянь
Якщо підставити виразв друге рівняння системи, То отримаємо або.
Корінням квадратного рівняння єі.
Розглянемо два випадки.
1. Нехай, тоді. Оскільки і, то.
В такому випадку, згідно з формулою (6), маємо
2. Якщо, то, і
Відповідь: і.
Приклад 8.Відомо, що і. Знайти.
Рішення.Беручи до уваги формулу (5) і умову прикладу, запишемо і.
Звідси випливає система рівнянь
Якщо перше рівняння системи помножимо на 2, а потім складемо його до другого рівняння, то отримаємо
Відповідно до формули (9) маємо. У зв'язку з цим з (12) випливаєабо.
Оскільки і, то.
Відповідь:.
Приклад 9.Знайти, якщо і.
Рішення.Оскільки, і за умовою, то чи.
З формули (5) відомо, Що. Так як, то.
отже, тут маємо систему лінійних рівнянь
Звідси отримуємо і. Беручи до уваги формулу (8), запишемо.
Приклад 10.Розв'язати рівняння .
Рішення.З заданого рівняння слід, що. Покладемо, що,, і. В такому випадку .
Відповідно до формули (1), можна записати або.
Так як, то рівняння (13) має єдиний підходящий корінь.
Приклад 11.Знайти максимальне значення за умови, що і.
Рішення.Так як, то розглянута арифметична прогресія є спадною. У зв'язку з цим вираз приймає максимальне значення в тому випадку, коли є номером мінімального позитивного члена прогресії.
Скористаємося формулою (1) і тим фактом, що і . Тоді отримаємо, що або.
Оскільки, то чи . Однак в цьому нерівностінайбільше натуральне число, Тому.
Якщо значення, і підставити в формулу (6), то отримаємо.
Відповідь:.
Приклад 12.Визначити суму всіх двозначних натуральних чисел, які при діленні на число 6 дають в залишку 5.
Рішення.Позначимо через безліч всіх двозначних натуральних чисел, тобто . Далі, побудуємо підмножина, що складається з тих елементів (чисел) безлічі, які при діленні на число 6 дають в залишку 5.
неважко встановити, Що. очевидно, що елементи множиниутворюють арифметичну прогресію, В якій і.
Для встановлення потужності (числа елементів) множини покладемо, що. Так як і, то з формули (1) слід або. Беручи до уваги формулу (5), отримаємо.
Наведені вище приклади розв'язання задач ні в якому разі не можуть претендувати на вичерпну повноту. Ця стаття написана на основі аналізу сучасних методів вирішення типових задач на задану тему. Для більш глибокого вивчення методів вирішення завдань, пов'язаних з арифметичною прогресією, доцільно звернутися до списку рекомендованої літератури.
1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / Под ред. М.І. Сканаві. - М .: Мир і Освіта, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.
3. Мединський М.М. Повний курс елементарної математики в задачах і вправах. Книга 2: Числові послідовності та прогресії. - М .: Едітус, 2015. - 208 с.
Залишилися питання?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. наприклад:
Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно (в нашому випадку їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке - друге і так далі до останнього, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:
числова послідовність
Наприклад, для нашої послідовності:
Присвоєний номер характерний тільки для одного числа послідовності. Іншими словами, в послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і -ве число) завжди одне.
Число з номером називається -ним членом послідовності.
Всю послідовність ми зазвичай називаємо який-небудь буквою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тієї ж буквою з індексом, рівним номеру цього члена:.
У нашому випадку: 
Припустимо, у нас є числова послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
наприклад: 
і т.д.
Така числова послідовність називається арифметичною прогресією.
Термін «прогресія» був введений римським автором Боецієм ще в 6 столітті і розумівся в ширшому сенсі, як нескінченна числова послідовність. Назва «арифметична» було перенесено з теорії безперервних пропорцій, якими займалися стародавні греки.
Це числова послідовність, кожен член якої дорівнює попередньому, складеному з одним і тим же числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії і позначається.
Спробуй визначити, які числові послідовності є арифметичною прогресією, а які ні:
a)
b)
c)
d)
Розібрався? Порівняємо наші відповіді:
єарифметичною прогресією - b, c.
Не єарифметичною прогресією - a, d.
Повернемося до заданої прогресії () і спробуємо знайти значення її -го члена. існує дваспособу його знаходження.
1. Спосіб
Ми можемо додавати до попереднього значення числа прогресії, поки не дійдемо до -го члена прогресії. Добре, що підсумовувати нам залишилося небагато - всього три значення:
Отже, -ої член описаної арифметичної прогресії дорівнює.
2. Спосіб
А що якщо нам потрібно було б знайти значення -го члена прогресії? Підсумовування зайняло б у нас не одну годину, і не факт, що ми не помилилися б при додаванні чисел.
Зрозуміло, математики придумали спосіб, при якому не потрібно додавати різницю арифметичної прогресії до попереднього значення. Придивися уважно до намальованому малюнку ... Напевно ти вже помітив якусь закономірність, а саме:
Наприклад, подивимося, з чого складається значення -го члена даної арифметичної прогресії: 
Іншими словами:
Спробуй самостійно знайти таким способом значення члена даної арифметичної прогресії.
Розрахував? Порівняй свої записи з відповіддю:
Зверни увагу, що у тебе вийшло точно таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно додавали до попереднього значення членів арифметичної прогресії.
Спробуємо «обмежити доступ» цю формулу - наведемо її в загальний вигляд і отримаємо:
|
Рівняння арифметичної прогресії. |
Арифметичні прогресії бувають зростаючі, а бувають спадні.
зростаючі- прогресії, в яких кожне наступне значення членів більше попереднього.
наприклад:
убутні- прогресії, в яких кожне наступне значення членів менше попереднього.
наприклад:
Виведена формула застосовується в розрахунку членів як в зростаючих, так і в відбувають членах арифметичної прогресії.
Перевіримо це на практиці.
Нам дана арифметична прогресія, яка складається з таких чисел: Перевіримо, яке вийде -е число даної арифметичної прогресії, якщо при його розрахунку використовувати нашу формулу:
Так як, то:
Таким чином, ми переконалися, що формула діє як в порядку спадання, так і в зростаючій арифметичній прогресії.
Спробуй самостійно знайти -ої і -ий члени цієї арифметичної прогресії.
Порівняємо отримані результати:
Властивість арифметичної прогресії
Ускладнити завдання - виведемо властивість арифметичної прогресії.
Припустимо, нам дано таку умову:
- арифметична прогресія, знайти значення.
Легко, скажеш ти і почнеш рахувати по вже відомій тобі формулою:
Нехай, а, тоді:
Абсолютно вірно. Виходить, ми спочатку знаходимо, потім додаємо його до першого числа і отримуємо шукане. Якщо прогресія представлена маленькими значеннями, то нічого складного в цьому немає, а якщо нам в умови дані числа? Погодься, є ймовірність помилитися в обчисленнях.
А тепер подумай, чи можна вирішити цю задачу в одну дію з використанням будь-якої формули? Звичайно так, і саме її ми спробуємо зараз вивести.
Позначимо шуканий член арифметичної прогресії як, формула його знаходження нам відома - це та сама формула, виведена нами на початку:
, Тоді:
- попередній член прогресії це:
- наступний член прогресії це:
Підсумуємо попередній і наступний члени прогресії:
Виходить, що сума попередніх і наступних членів прогресії - це подвоєне значення члена прогресії, що знаходиться між ними. Іншими словами, щоб знайти значення члена прогресії при відомих попередніх і послідовних значеннях, необхідно скласти їх і розділити на.
Все вірно, ми отримали це ж число. Закріпимо матеріал. Порахуй значення для прогресії самостійно, адже це зовсім нескладно.
Молодець! Ти знаєш про прогресії майже все! Залишилося дізнатися тільки одну формулу, яку за легендами без праці вивів для себе один з найвидатніших математиків всіх часів, «король математиків» - Карл Гаусс ...
Коли Карлу Гаусу було 9 років, учитель, зайнятий перевіркою робіт учнів інших класів, поставив на уроці таку задачу: «Порахувати суму всіх натуральних чисел від до (за іншими джерелами до) включно». Яке ж було здивування вчителя, коли один з його учнів (це і був Карл Гаусс) через хвилину дав правильну відповідь на поставлене завдання, при цьому, більшість однокласників сміливця після довгих підрахунків отримали неправильний результат ...
Юний Карл Гаусс помітив деяку закономірність, яку без праці помітиш і ти.
Припустимо, у нас є арифметична прогресія, що складається з -ти членів: Нам необхідно знайти суму даних членів арифметичної прогресії. Звичайно, ми можемо вручну підсумувати всі значення, але що робити, якщо в завданні необхідно буде знайти суму її членів, як це шукав Гаусс?
Зобразимо задану нам прогресію. Придивися уважно до виділених числах і спробуй зробити з ними різні математичні дії. 
Спробував? Що ти помітив? Правильно! Їх суми дорівнюють
А тепер дай відповідь, скільки всього набереться таких пар в заданій нам прогресії? Звичайно, рівно половина всіх чисел, тобто.
Виходячи з того, що сума двох членів арифметичної прогресії дорівнює, а подібних рівних пар, ми отримуємо, що загальна сума дорівнює:
.
Таким чином, формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:
У деяких завданнях нам невідомий -й член, але відома різниця прогресії. Спробуй підставити в формулу суми, формулу -го члена.
Що у тебе вийшло?
Молодець! Тепер повернемося до задачі, яку задали Карлу Гаусу: порахуй самостійно, чому дорівнює сума чисел, починаючи від -го, і сума чисел починаючи від -го.
Скільки у тебе вийшло?
У Гаусса вийшло, що сума членів дорівнює, а сума членів. Так ти вирішував?
Насправді формула суми членів арифметичної прогресії була доведена давньогрецьким вченим Диофантом ще в 3 столітті, та й протягом усього цього часу дотепні люди щосили користувалися властивостями арифметичної прогресії.
Наприклад, уяви Стародавній Єгипеті наймасштабнішу будівництво того часу - будівництво піраміди ... На малюнку представлена одна її сторона. 
Де ж тут прогресія скажеш ти? Подивися уважно і знайди закономірність в кількості піщаних блоків в кожному ряді стіни піраміди. 
Чим не арифметична прогресія? Порахуй, скільки всього блоків необхідно для будівництва однієї стіни, якщо в основу кладеться блокових цегли. Сподіваюся, ти не будеш вважати, водячи пальцем по монітору, ти ж пам'ятаєш останню формулу і все, що ми говорили про арифметичній прогресії?
В даному випадку прогресія виглядає наступним чином:.
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість членів арифметичної прогресії.
Підставами в останні формули наші дані (порахуємо кількість блоків 2 способами).
Спосіб 1.
Спосіб 2.
А тепер можна і на моніторі порахувати: порівняй отримані значення з тією кількістю блоків, яке є в нашій піраміді. Зійшлося? Молодець, ти освоїв суму -них членів арифметичної прогресії.
Звичайно, з блоків у основі піраміду не побудуєш, а ось з? Спробуй розрахувати, скільки необхідно піщаних цегли, щоб побудувати стіну з такою умовою.
Впорався?
Вірна відповідь - блоків:
Тренування
завдання:
- Маша приходить в форму до літа. Щодня вона збільшує кількість присідань на. Скільки разів буде присідати Маша через тижні, якщо на першому тренуванні вона зробила присідань.
- Яка сума всіх непарних чисел, що містяться в.
- Лісоруби при зберіганні колод укладають їх таким чином, що кожен верхній шар містить на одну колоду менше, ніж попередній. Скільки колод знаходиться в одній кладці, якщо підставою кладки служать колод.
відповіді:
- Визначимо параметри арифметичній прогресії. В даному випадку
(Тижні = днів).відповідь:Через два тижні Маша повинна присідати раз в день.
- Перше непарне число, останнє число.
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість непарних чисел в - половина, проте, перевіримо цей факт, використовуючи формулу знаходження -ного члена арифметичної прогресії:В числах дійсно міститься непарних чисел.
Наявні дані підставимо в формулу:відповідь:Сума всіх непарних чисел, що містяться в, дорівнює.
- Згадаймо завдання про піраміди. Для нашого випадку, a, так як кожен верхній шар зменшується на одну колоду, то всього в купці шарів, тобто.
Підставами дані в формулу:відповідь:У кладці знаходиться колод.
Підведемо підсумки
- - числова послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює. Вона буває зростаючій і зменшення.
- Формула знаходження-го члена арифметичної прогресії записується формулою -, де - кількість чисел в прогресії.
- Властивість членів арифметичної прогресії- - де - кількість чисел в прогресії.
- Суму членів арифметичної прогресіїможна знайти двома способами:
, Де - кількість значень.
АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ
числова послідовність
Давай сядемо і почнемо писати якісь числа. наприклад:
Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно. Але завжди можна сказати, яке з них перше, яке - друге і так далі, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності.
числова послідовність- це безліч чисел, кожному з яких можна привласнити унікальний номер.
Іншими словами, кожному числу можна поставити у відповідність деякий натуральне число, причому єдине. І цей номер ми не дамо більше ніякому іншому числу з даної множини.
Число з номером називається -им членом послідовності.
Всю послідовність ми зазвичай називаємо який-небудь буквою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тієї ж буквою з індексом, рівним номеру цього члена:.
Дуже зручно, якщо -ий член послідовності можна поставити яке-небудь формулою. Наприклад, формула
задає послідовність:
А формула - таку послідовність:
Наприклад, арифметичною прогресією є послідовність (перший член тут дорівнює, а різниця). Або (, різниця).
Формула n-го члена
Рекуррентной ми називаємо таку формулу, в якій щоб дізнатися -ий член, потрібно знати попередній або кілька попередніх:
Щоб знайти за такою формулою, наприклад, -ий член прогресії, нам доведеться обчислити попередні дев'ять. Наприклад, нехай. тоді:
Ну що, ясно тепер якась формула?
У кожному рядку ми до додаємо, помножене на якесь число. На яке? Дуже просто: це номер поточного члена мінус:
Тепер набагато зручніше, правда? перевіряємо:
Виріши сам:
В арифметичній прогресії знайти формулу n-го члена і знайти сотий член.
Рішення:
Перший член дорівнює. А чому дорівнює різниця? А ось чому:
(Вона ж тому й називається різницею, що дорівнює різниці послідовних членів прогресії).
Отже, формула:
Тоді сотий член дорівнює:
Чому дорівнює сума всіх натуральних чисел від до?
За легендою, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-річним хлопчиком, вважав цю суму за кілька хвилин. Він зауважив, що сума першого і останнього числа дорівнює, сума другого і передостаннього - теж, сума третього і 3-го з кінця - теж, і так далі. Скільки всього набереться таких пар? Правильно, рівно половина кількості всіх чисел, тобто. Отже,
Загальна формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:
приклад:
Знайдіть суму всіх двозначних чисел, кратних.
Рішення:
Перше таке число - це. Кожне наступне виходить додаванням до попереднього числа. Таким чином, питання, що цікавлять нас числа утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею.
Формула-го члена для цієї прогресії:
Скільки членів у прогресії, якщо всі вони повинні бути двозначними?
Дуже легко: .
Останній член прогресії дорівнюватиме. Тоді сума:
Відповідь:.
Тепер виріши сам:
- Щодня спортсмен пробігає на м більше, ніж у попередній день. Скільки всього кілометрів він пробіжить за тижні, якщо в перший день він пробіг км м?
- Велосипедист проїжджає щодня на км більше, ніж в попередній. У перший день він проїхав км. Скільки днів йому треба їхати, щоб подолати км? Скільки кілометрів він проїде за останній день шляху?
- Ціна холодильника в магазині щорічно зменшується на одну і ту ж суму. Визначте, на скільки щороку зменшувалася ціна холодильника, якщо, виставлений на продаж за рублів, через шість років був проданий за рублів.
відповіді:
- Тут найголовніше - розпізнати арифметичну прогресію, і визначити її параметри. В даному випадку, (тижні = днів). Визначити потрібно суму перших членів цієї прогресії:
.
відповідь: - Тут дано:, треба знайти.
Очевидно, потрібно використовувати ту ж формулу суми, що і в попередній задачі:
.
Підставляємо значення:Корінь, очевидно, не підходить, значить, відповідь.
Порахуємо шлях, пройдений за останній день за допомогою формули -го члена:
(Км).
відповідь: - Дано:. Знайти:.
Простіше не буває:
(Руб).
відповідь:
АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ
Це числова послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
Арифметична прогресія буває зростаючою () і спадної ().
наприклад:
Формула знаходження n-ого члена арифметичної прогресії
записується формулою, де - кількість чисел в прогресії.
Властивість членів арифметичної прогресії
Воно дозволяє легко знайти член прогресії, якщо відомі його сусідні члени - де - кількість чисел в прогресії.
Сума членів арифметичної прогресії
Існує два способи знаходження суми:
Де - кількість значень.
Де - кількість значень.
Залишається 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!
Стати учнем YouClever,
Підготуватися до ОГЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",
А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програмі підготовки (розв'язнику) "100gia", необмеженому пробному ЄДІ і ОГЕ, 6000 завдань з розбором рішень і до інших сервісів YouClever і 100gia.
Так, так: арифметична прогресія - це вам не іграшки :) Що ж, друзі, якщо ви читаєте цей текст, то внутрішній кеп-очевидність підказує мені, що ви поки ще не знаєте, що таке арифметична прогресія, але дуже (немає, ось так: Ооооочень!) Хочете дізнатися. Тому не буду мучити вас довгими вступами і відразу перейду до справи.
Для початку парочка прикладів. Розглянемо кілька наборів чисел:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \ Sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $
Що спільного у всіх цих наборів? На перший погляд - нічого. Але насправді дещо є. А саме: кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на одне і те ж число.
Судіть самі. Перший набір - це просто йдуть підряд числа, кожне наступне на одиницю більше попереднього. У другому випадку різниця між рядом стоять числами вже дорівнює п'яти, але ця різниця все одно постійна. У третьому випадку взагалі коріння. Однак $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, а $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, тобто і в цьому випадку кожен наступний елемент просто зростає на $ \ sqrt (2) $ (і нехай вас не лякає, що це число - ірраціональне).
Так ось: всі такі послідовності як раз і називаються арифметичними прогресіями. Дамо суворе визначення:
Визначення. Послідовність чисел, в якій кожне наступне відрізняється від попереднього рівно на одну і ту ж величину, називається арифметичною прогресією. Сама величина, на яку відрізняються числа, називається різницею прогресії і найчастіше позначається буквою $ d $.
Позначення: $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ - сама прогресія, $ d $ - її різницю.
І відразу парочка важливих зауважень. По-перше, прогресією вважається лише упорядкованапослідовність чисел: їх дозволено читати строго в тому порядку, в якому вони записані - і ніяк інакше. Переставляти і міняти місцями числа не можна.
По-друге, сама послідовність може бути як кінцевої, так і нескінченною. Наприклад, набір (1; 2; 3) - це, очевидно, кінцева арифметична прогресія. Але якщо записати що-небудь в дусі (1; 2; 3; 4; ...) - це вже нескінченна прогресія. Три крапки після четвірки ніби натякає, що далі йде ще досить багато чисел. Нескінченно багато, наприклад. :)
Ще хотів би відзначити, що прогресії бувають зростаючими і спадними. Зростаючі ми вже бачили - той же набір (1; 2; 3; 4; ...). А ось приклади відбувають прогресій:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \ Sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $
Гаразд, гаразд: останній приклад може здатися надто складним. Але інші, думаю, вам зрозумілі. Тому введемо нові визначення:
Визначення. Арифметична прогресія називається:
- зростаючої, якщо кожен наступний елемент більше попереднього;
- спадною, якщо, навпаки, кожний наступний елемент менше попереднього.
Крім того, існують так звані «стаціонарні» послідовності - вони складаються з одного і того ж повторюваного числа. Наприклад, (3; 3; 3; ...).
Залишається лише одне питання: як відрізнити зростаючу прогресію від спадної? На щастя, тут все залежить лише від того, який знак числа $ d $, тобто різниці прогресії:
- Якщо $ d \ gt 0 $, то прогресія зростає;
- Якщо $ d \ lt 0 $, то прогресія, очевидно, зменшується;
- Нарешті, є випадок $ d = 0 $ - в цьому випадку вся прогресія зводиться до стаціонарної послідовності однакових чисел: (1; 1; 1; 1; ...) і т.д.
Спробуємо розрахувати різницю $ d $ для трьох відбувають прогресій, наведених вище. Для цього достатньо взяти будь-які два сусідні елементи (наприклад, перший і другий) і відняти з числа, що стоїть праворуч, число, що стоїть ліворуч. Виглядати це буде ось так:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \ Sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.
Як бачимо, у всіх трьох випадкахрізницю дійсно вийшла негативною. І тепер, коли ми більш-менш розібралися з визначеннями, пора розібратися з тим, як описуються прогресії і які у них властивості.
Члени прогресії і рекуррентная формула
Оскільки елементи наших послідовностей не можна міняти місцями, їх можна пронумерувати:
\ [\ Left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ right \) \]
Окремі елементи цього набору називаються членами прогресії. На них так і вказують за допомогою номера: перший член, другий член і т.д.
Крім того, як ми вже знаємо, сусідні члени прогресії пов'язані формулою:
\ [((A) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]
Коротше кажучи, щоб знайти $ n $ -й член прогресії, потрібно знати $ n-1 $ -й член і різниця $ d $. Така формула називається рекуррентной, оскільки з її допомогою можна знайти будь-яке число, лише знаючи попереднє (а по факту - всі попередні). Це дуже незручно, тому існує більш хитра формула, яка зводить будь-які обчислення до першого члену і різниці:
\ [((A) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \]
Напевно ви вже зустрічалися з цією формулою. Її люблять давати у всяких довідниках і решебники. Та й в будь-якому тлумачному підручнику з математики вона йде однією з перших.
Проте пропоную трохи потренуватися.
Завдання №1. Випишіть перші три члена арифметичної прогресії $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $, якщо $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.
Рішення. Отже, нам відомий перший член $ ((a) _ (1)) = 8 $ і різниця прогресії $ d = -5 $. Скористаємося тільки що наведеної формулою і підставимо $ n = 1 $, $ n = 2 $ і $ n = 3 $:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ left (1-1 \ right) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ left (2-1 \ right) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ left (3-1 \ right) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (align) \]
Відповідь: (8; 3; -2)
От і все! Зверніть увагу: наша прогресія - спадна.
Звичайно, $ n = 1 $ можна було і не підставляти - перший член нам і так відомий. Втім, підставивши одиницю, ми переконалися, що навіть для першого члена наша формула працює. В інших випадках все звелося до банальної арифметики.
Завдання №2. Випишіть перші три члена арифметичної прогресії, якщо її сьомий член дорівнює -40, а сімнадцятий член дорівнює -50.
Рішення. Запишемо умову задачі в звичних термінах:
\ [((A) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]
\ [\ Left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (align) \ right. \]
\ [\ Left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ right. \]
Знак системи я поставив тому, що ці вимоги повинні виконуватися одночасно. А тепер зауважимо, якщо відняти з другого рівняння перше (ми маємо право це зробити, тому що у нас система), то отримаємо ось що:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50 \ left (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (align) \]
Ось так просто ми знайшли різниця прогресії! Залишилося підставити знайдене число в будь-який з рівнянь системи. Наприклад, на початку:
\ [\ Begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matrix) \]
Тепер, знаючи перший член і різницю, залишилося знайти другий і третій член:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (align) \]
Готово! Завдання вирішена.
Відповідь: (-34; -35; -36)
Зверніть увагу на цікаву властивість прогресії, яке ми виявили: якщо взяти $ n $ -й і $ m $ -й члени і відняти їх один з одного, то ми отримаємо різницю прогресії, помножену на число $ n-m $:
\ [((A) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ left (n-m \ right) \]
Просте, але дуже корисна властивість, Яке обов'язково треба знати - з його допомогою можна значно прискорити вирішення багатьох завдань по прогресу. Ось яскравий тому приклад:
Завдання №3. П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 8,4, а її десятий член дорівнює 14,4. Знайдіть п'ятнадцятий член цієї прогресії.
Рішення. Оскільки $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $, а потрібно знайти $ ((a) _ (15)) $, то зауважимо наступне:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ end (align) \]
Але за умовою $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = 6 $, тому $ 5d = 6 $, звідки маємо:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ end (align) \]
Відповідь: 20,4
От і все! Нам не треба було складати якісь системи рівнянь і вважати перший член і різницю - все вирішилося буквально в пару рядків.
Тепер розглянемо інший вид завдань - на пошук негативних і позитивних членів прогресії. Не секрет, що якщо прогресія зростає, при цьому перший член у неї негативний, то рано чи пізно в неї з'являться позитивні члени. І навпаки: члени спадної прогресії рано чи пізно стануть негативними.
При цьому далеко не завжди можна намацати цей момент «в лоб», послідовно перебираючи елементи. Найчастіше завдання складені так, що без знання формул обчислення зайняли б кілька листів - ми просто заснули б, поки знайшли відповідь. Тому спробуємо вирішити ці завдання більш швидким способом.
Завдання №4. Скільки негативних членів в арифметичній прогресії -38,5; -35,8; ...?
Рішення. Отже, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, звідки відразу знаходимо різницю:
Зауважимо, що різниця позитивна, тому прогресія зростає. Перший член негативний, тому дійсно в якийсь момент ми натрапимо на позитивні числа. Питання лише в тому, коли це станеться.
Спробуємо з'ясувати: до яких пір (тобто до якого натурального числа $ n $) зберігається негативність членів:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38,5+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ quad \ left | \ Cdot 10 \ right. \\ & -385 + 27 \ cdot \ left (n-1 \ right) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (align) \]
Останній рядок вимагає пояснень. Отже, нам відомо, що $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. З іншого боку, нас влаштують лише цілі значення номера (більш того: $ n \ in \ mathbb (N) $), тому найбільший допустимий номер - це саме $ n = 15 $, а ні в якому разі не 16.
Завдання №5. В арифметичній прогресії $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Знайдіть номер першого позитивного члена цієї прогресії.
Це була б точь-в-точь така ж завдання, як і попередня, проте нам невідомо $ ((a) _ (1)) $. Зате відомі сусідні члени: $ ((a) _ (5)) $ і $ ((a) _ (6)) $, тому ми легко знайдемо різницю прогресії:
Крім того, спробуємо висловити п'ятий член через перший і різниця за стандартною формулою:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ end (align) \]
Тепер чинимо по аналогії з попередньою завданням. З'ясовуємо, в який момент в нашій послідовності виникнуть позитивні числа:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (align) \]
Мінімальна целочисленное рішення даного нерівності - число 56.
Зверніть увагу: в останньому завданні все звелося до суворого нерівності, тому варіант $ n = 55 $ нас не влаштує.
Тепер, коли ми навчилися вирішувати прості завдання, перейдемо до більш складним. Але для початку давайте вивчимо ще одне дуже корисна властивість арифметичних прогресій, яке в майбутньому заощадить нам купу часу і нерівних клітин. :)
Середнє арифметичне і рівні відступи
Розглянемо кілька послідовних членів зростаючої арифметичної прогресії $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $. Спробуємо відзначити їх на числовій прямій:
Члени арифметичної прогресії на числовій прямійЯ спеціально зазначив довільні члени $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, а не якісь там $ ((a) _ (1)) , \ ((a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ і т.д. Тому що правило, про який я зараз розповім, однаково працює для будь-яких «відрізків».
А правило дуже просте. Давайте згадаємо рекуррентную формулуі запишемо її для всіх зазначених членів:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (align) \]
Однак ці рівності можна переписати інакше:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (align) \]
Ну і що з того? А то, що члени $ ((a) _ (n-1)) $ і $ ((a) _ (n + 1)) $ лежать на одному і тому ж відстані від $ ((a) _ (n)) $. І ця відстань дорівнює $ d $. Те ж саме можна сказати про члени $ ((a) _ (n-2)) $ і $ ((a) _ (n + 2)) $ - вони теж віддалені від $ ((a) _ (n)) $ на однакову відстань, рівну $ 2d $. Продовжувати можна до безкінечності, але сенс добре ілюструє картинка
Члени прогресії лежать на однаковій відстані від центру Що це означає для нас? Це означає, що можна знайти $ ((a) _ (n)) $, якщо відомі числа-сусіди:
\ [((A) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]
Ми вивели чудове твердження: всякий член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх членів! Більш того: ми можемо відступити від нашого $ ((a) _ (n)) $ вліво і вправо нема на один крок, а на $ k $ кроків - і все одно формула буде вірна:
\ [((A) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]
Тобто ми спокійно можемо знайти якесь $ ((a) _ (150)) $, якщо знаємо $ ((a) _ (100)) $ і $ ((a) _ (200)) $, тому що $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. На перший погляд може здатися, що даний факт не дає нам нічого корисного. Однак на практиці багато завдань спеціально «заточені» під використання середнього арифметичного. Погляньте:
Завдання №6. Знайдіть всі значення $ x $, при яких числа $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ і $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ є послідовними членами арифметичної прогресії (в зазначеному порядку).
Рішення. Оскільки зазначені числа є членами прогресії, для них виконується умова середнього арифметичного: центральний елемент $ x + 1 $ можна виразити через сусідні елементи:
\ [\ Begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (align) \]
Вийшло класичне квадратне рівняння. Його коріння: $ x = 2 $ і $ x = -3 $ - це і є відповіді.
Відповідь: -3; 2.
Завдання №7. Знайдіть значення $$, при яких числа $ 1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ складають арифметичну прогресію (в зазначеному порядку).
Рішення. знову висловимо середній членчерез середнє арифметичне сусідніх членів:
\ [\ Begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ Cdot 2 \ right .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (align) \]
Знову квадратне рівняння. І знову два кореня: $ x = 6 $ і $ x = 1 $.
Відповідь: 1; 6.
Якщо в процесі виконання завдання у вас вилазять якісь звірячі числа, або ви не до кінця впевнені в правильності знайдених відповідей, тобто чудовий прийом, що дозволяє перевірити: чи правильно ми розв'язали це завдання?
Припустимо, в завданню №6 ми отримали відповіді -3 і 2. Як перевірити, що ці відповіді вірні? Давайте просто підставимо їх у вихідне умова і подивимося, що вийде. Нагадаю, що у нас є три числа ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ і $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), які повинні складати арифметичну прогресію. Підставами $ x = -3 $:
\ [\ Begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ End (align) \]
Отримали числа -54; -2; 50, які відрізняються на 52 - безсумнівно, це арифметична прогресія. Те ж саме відбувається і при $ x = 2 $:
\ [\ Begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ End (align) \]
Знову прогресія, але з різницею 27. Таким чином, задача вирішена вірно. Бажаючі можуть перевірити другу задачу самостійно, але відразу скажу: там теж все вірно.
В цілому, вирішуючи останні завдання, ми натрапили на ще один цікавий факт, Який теж необхідно запам'ятати:
Якщо три числа такі, що друге є середнім арифметичним першого і останнього, то ці числа утворюють арифметичну прогресію.
В майбутньому розуміння цього твердження дозволить нам буквально «конструювати» потрібні прогресії, спираючись на умову задачі. Але перш ніж ми займемося подібним «конструюванням», слід звернути увагу на ще один факт, який прямо випливає з уже розглянутого.
Угруповання і сума елементів
Давайте ще раз повернемося до числової осі. Відзначимо там кілька членів прогресії, між якими, можливо. варто дуже багато інших членів:
На числовій прямій відзначені 6 елементівСпробуємо висловити «лівий хвіст» через $ ((a) _ (n)) $ і $ d $, а «правий хвіст» через $ ((a) _ (k)) $ і $ d $. Це дуже просто:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (align) \]
А тепер зауважимо, що дорівнюють наступні суми:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ End (align) \]
Простіше кажучи, якщо ми розглянемо в якості старту два елементи прогресії, які в сумі дорівнюють якомусь числу $ S $, а потім почнемо крокувати від цих елементів в протилежні сторони (назустріч один одному або навпаки на видалення), то суми елементів, на які ми будемо натикатися, теж будуть рівні$ S $. Найбільш наочно це можна представити графічно:
Однакові відступи дають однакові суми Розуміння цього факту дозволить нам вирішувати завдання принципово більш високого рівняскладності, ніж ті, що ми розглядали вище. Наприклад, такі:
Завдання №8. Визначте різницю арифметичної прогресії, в якій перший член дорівнює 66, а твір другого і дванадцятого членів є найменшим з можливих.
Рішення. Запишемо все, що нам відомо:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ End (align) \]
Отже, нам невідома різниця прогресії $ d $. Власне, навколо різниці і буде будуватися все рішення, оскільки твір $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ можна переписати таким чином:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right). \ End (align) \]
Для тих, хто в танку: я виніс загальний множник 11 з другої дужки. Таким чином, шукане твір представляє собою квадратичну функцію щодо змінної $ d $. Тому розглянемо функцію $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - її графіком буде парабола гілками вгору, тому що якщо розкрити дужки, то ми отримаємо:
\ [\ Begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]
Як бачимо, коефіцієнт при старшому слагаемом дорівнює 11 - це позитивне число, тому дійсно маємо справу з параболою гілками вгору:
графік квадратичної функції - парабола
Зверніть увагу: мінімальне значення ця парабола приймає в своїй вершині з абсцисою $ ((d) _ (0)) $. Звичайно, ми можемо порахувати цю абсциссу за стандартною схемою (є ж формула $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), але куди розумніше буде помітити, що шукана вершина лежить на осі симетрії параболи, тому точка $ ((d) _ (0)) $ рівновіддалена від коренів рівняння $ f \ left (d \ right) = 0 $:
\ [\ Begin (align) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (align) \]
Саме тому я не особливо поспішав розкривати дужки: в початковому вигляді коріння було знайти дуже і дуже просто. Отже, абсциса дорівнює середньому арифметичному чисел -66 і -6:
\ [((D) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]
Що дає нам виявлене число? При ньому необхідну твір приймає найменше значення(Ми, до речі, так і не порахували $ ((y) _ (\ min)) $ - від нас це не потрібно). Одночасно це число є різницею вихідної прогресії, тобто ми знайшли відповідь. :)
Відповідь: -36
Завдання №9. Між числами $ - \ frac (1) (2) $ і $ - \ frac (1) (6) $ вставте три числа так, щоб вони разом з даними числами склали арифметичну прогресію.
Рішення. По суті, нам потрібно скласти послідовність з п'яти чисел, причому перше і останнє число вже відомо. Позначимо відсутні числа змінними $ x $, $ y $ і $ z $:
\ [\ Left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]
Відзначимо, що число $ y $ є «серединою» нашої послідовності - воно рівновіддаленим і від чисел $ x $ і $ z $, і від чисел $ - \ frac (1) (2) $ і $ - \ frac (1) ( 6) $. І якщо з чисел $ x $ і $ z $ ми в даний момент не можемо отримати $ y $, то ось з кінцями прогресії інша справа. Згадуємо про середнє арифметичне:
Тепер, знаючи $ y $, ми знайдемо залишилися числа. Зауважимо, що $ x $ лежить між числами $ - \ frac (1) (2) $ і тільки що знайденим $ y = - \ frac (1) (3) $. Тому
Аналогічно розмірковуючи, знаходимо час, що залишився число:
Готово! Ми знайшли всі три числа. Запишемо їх у відповіді в тому порядку, в якому вони повинні бути вставлені між вихідними числами.
Відповідь: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $
Завдання №10. Між числами 2 і 42 вставте декілька чисел, які разом з даними числами утворюють арифметичну прогресію, якщо відомо, що сума першого, другого і останнього з вставлених чисел дорівнює 56.
Рішення. Ще більш складна задача, Яка, однак, вирішується за тією ж схемою, що і попередні - через середнє арифметичне. Проблема в тому, що нам невідомо, скільки конкретно чисел треба вставити. Тому покладемо для опредлённості, що після вставки за все буде рівно $ n $ чисел, причому перше з них - це 2, а останнє - 42. В цьому випадку шукана арифметична прогресія подана в вигляді:
\ [\ Left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ right \) \]
\ [((A) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]
Зауважимо, однак, що числа $ ((a) _ (2)) $ і $ ((a) _ (n-1)) $ виходять з стоять по краях чисел 2 і 42 шляхом одного кроку назустріч один одному, тобто . до центру послідовності. А це означає, що
\ [((A) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]
Але тоді записане вище вираз можна переписати так:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ right) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (align) \]
Знаючи $ ((a) _ (3)) $ і $ ((a) _ (1)) $, ми легко знайдемо різницю прогресії:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12-2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ left (3-1 \ right) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ end (align) \]
Залишилося лише знайти інші члени:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (align) \]
Таким чином, вже на 9-му кроці ми прийдемо в лівий кінець послідовності - число 42. Разом потрібно було вставити лише 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Відповідь: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Текстові завдання з прогресіями
На закінчення хотілося б розглянути парочку щодо простих завдань. Ну, як простих: для більшості учнів, які вивчають математику в школі і не читали того, що написано вище, ці завдання можуть здатися бляхою. Проте саме такі завдання трапляються в ОГЕ і ЄДІ з математики, тому рекомендую ознайомитися з ними.
Завдання №11. Бригада виготовила в січні 62 деталі, а в кожен наступний місяць виготовляла на 14 деталей більше, ніж в попередній. Скільки деталей виготовила бригада в листопаді?
Рішення. Очевидно, кількість деталей, розписане по місяцях, буде являти собою зростаючу арифметичну прогресію. причому:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 14. \\ \ end (align) \]
Листопад - це 11-й місяць в році, тому нам потрібно знайти $ ((a) _ (11)) $:
\ [((A) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]
Отже, в листопаді буде виготовлено 202 деталі.
Завдання №12. Палітурна майстерня переплела в січні 216 книг, а в кожен наступний місяць вона переплітала на 4 книги більше, ніж в попередній. Скільки книг переплела майстерня в грудні?
Рішення. Все теж саме:
$ \ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 4. \\ \ end (align) $
Грудень - це останній, 12-й місяць в році, тому шукаємо $ ((a) _ (12)) $:
\ [((A) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]
Це і є відповідь - 260 книг буде переплетено в грудні.
Що ж, якщо ви дочитали до сюди, поспішаю вас привітати: «курс молодого бійця» по арифметичній прогресії ви успішно пройшли. Можна сміливо переходити до наступного уроку, де ми вивчимо формулу суми прогресії, а також важливі і дуже корисні слідства з неї.
У чому головна сутьформули?
Ця формула дозволяє знайти будь-який ПО ЙОГО НОМЕРОМ " n " .
Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1і різниця прогресії d, Ну так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.
Завчити (або зашпаргаліть) цю формулу мало. Треба засвоїти її суть і попріменять формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, да ...) Як не забути- я не знаю. А от як згадати,при необхідності, - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)
Отже, розберемося з формулою n-го члена арифметичної прогресії.
Що таке формула взагалі - ми собі уявляємо.) Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії - доступно викладено в попередньому уроці. Загляньте, до речі, якщо не читали. Там все просто. Залишилося розібратися, що таке n-й член.
Прогресію в загальному вигляді можна записати у вигляді ряду чисел:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- позначає перший член арифметичної прогресії, a 3- третій член, a 4- четвертий, і так далі. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5, Якщо сто двадцятий - з a 120.
А як позначити в загальному вигляді будь-якийчлен арифметичної прогресії, з будь-якимномером? Дуже просто! Ось так:
a n
Це і є n-й член арифметичної прогресії.Під буквою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4, і так далі.
І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри букву записали ...
Ця запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. використовуючи позначення a n, Ми можемо швидко знайти будь-якийчлен будь-якийарифметичної прогресії. І ще купу задач по прогресії вирішити. Самі далі побачите.
У формулі n-го члена арифметичної прогресії:
| a n = a 1 + (n-1) d |
a 1- перший член арифметичної прогресії;
n- номер члена.
Формула пов'язує ключові параметри будь прогресії: a n; a 1; dі n. Навколо цих параметрів і крутяться всі завдання по прогресії.
Формула n-го члена може використовуватися і для запису конкретної прогресії. Наприклад, в задачі може бути сказано, що прогресія задана умовою:
a n = 5 + (n-1) · 2.
Така задачка може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умова з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 = 5, а d = 2.
А буває ще зліше!) Якщо взяти той же умова: a n = 5 + (n-1) · 2,да розкрити дужки і привести подібні? Отримаємо нову формулу:
a n = 3 + 2n.
це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут і криється підводний камінь. Деякі думають, що перший член - це трійка. Хоча реально перший член - п'ятірка ... Трохи нижче ми попрацюємо з такою видозміненій формулою.
У завданнях на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n + 1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більше номера n на одиницю. Наприклад, якщо в якій-небудь задачі ми беремо за a nп'ятий член, то a n + 1буде шостим членом. І тому подібне.
Найчастіше позначення a n + 1зустрічається в рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова!) Це просто спосіб вираження члена арифметичної прогресії через попередній.Припустимо, нам дана арифметична прогресія ось в такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:
a n + 1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Четвертий - через третій, п'ятий - через четвертий, і так далі. А як порахувати відразу, скажімо двадцятий член, a 20? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємося, 20-й не порахувати. В цьому і є принципова відмінність рекуррентной формули від формули n-го члена. Рекурентна працює тільки через попереднійчлен, а формула n-го члена - через першийі дозволяє відразузнаходити будь-який член за його номером. Чи не прораховуючи весь ряд чисел по порядочку.
В арифметичній прогресії рекуррентную формулу легко перетворити в звичайну. Порахувати пару послідовних членів, обчислити різницю d,знайти, якщо треба, перший член a 1, Записати формулу в звичайному вигляді, та й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.
Застосування формули n-го члена арифметичної прогресії.
Для початку розглянемо пряме застосування формули. В кінці попереднього уроку була задачка:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121, якщо a 1 = 3, а d = 1/6.
Це завдання можна без жодних формул вирішити, просто виходячи зі змісту арифметичної прогресії. Додавати, так додавати ... Годинку-другий.)
А по формулі рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.
В умовах наведені всі дані для використання формули: a 1 = 3, d = 1/6.Залишається зрозуміти, чому дорівнює n.Не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:
Прошу звернути увагу! замість індексу nз'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один.Ось це і буде наш n.Саме це значення n= 121 ми і підставимо далі в формулу, в дужки. Підставляємо всі числа в формулу і вважаємо:
a 121 = 3 + (121-1) · 1/6 = 3 + 20 = 23
Ось і всі справи. Так само швидко можна було б знайти, і п'ять сотень десятий член, і тисяча третій, будь-хто. ставимо замість nпотрібний номер в індексі у літери " a "і в дужках, та й вважаємо.
Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-якийчлен арифметичної прогресії ПО ЙОГО НОМЕРОМ " n " .
Вирішимо завдання хитріше. Нехай нам попалася така задачка:
Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 = -2; d = -0,5.
Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії!Так Так. Руками запишіть, прямо в зошиті:
| a n = a 1 + (n-1) d |
А тепер, дивлячись на літери формули, міркуємо, які дані у нас є, а чого не вистачає? є d = -0,5,є сімнадцятий член ... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так ...
У нас ще є номер n! В умови a 17 = -2заховані два параметра.Це і значення сімнадцятого члена (-2), і його номер (17). Тобто n = 17.Ця "дрібниця" часто проскакує повз голови, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) Завдання не вирішити. Хоча ... і без голови теж.)
Тепер можна просто тупо підставити наші дані в формулу:
a 17 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ах да, a 17нам відомо, це -2. Ну ладно, підставимо:
-2 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ось, по суті, і все. Залишилося виразити перший член арифметичної прогресії з формули, та порахувати. Вийде відповідь: a 1 = 6.
Такий прийом - запис формули і проста підстановка відомих даних - здорово допомагає в простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити !? Без цього вміння математику можна взагалі не вивчати ...
Ще одна популярна завдання:
Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 = 2; a 15 = 12.
Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)
| a n = a 1 + (n-1) d |
Міркуємо, що нам відомо: a 1 = 2; a 15 = 12; і (спеціально виділю!) n = 15. Сміливо підставляємо в формулу:
12 = 2 + (15-1) d
Вважаємо арифметику.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Це правильна відповідь.
Так, завдання на a n, a 1і dповирішували. Залишилося навчитися номер знаходити:
Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 12; d = 3. Знайти номер цього члена.
Підставляємо в формулу n-го члена відомі нам величини:
a n = 12 + (n-1) · 3
На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n і n.але a n- це якийсь член прогресії з номером n... І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 в формулу:
99 = 12 + (n-1) · 3
Висловлюємо з формули n, Вважаємо. Отримаємо відповідь: n = 30.
А тепер завдання на ту ж тему, але більш творча):
Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Знову пишемо формулу. Що, немає ніяких параметрів? Гм ... А очі нам навіщо дадени?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це -3,6. Можна сміливо записати: a 1 = -3,6.різниця dможна з ряду визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різниця арифметичної прогресії:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером nі незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що даний саме член прогресії. А тут і того не знаємо ... Як бути !? Ну, як бути, як бути ... Включити творчі здібності!)
ми припустимо,що 117 - це, все-таки, член нашої прогресії. З невідомих номером n. І, точно як в попередній задачі, спробуємо знайти цей номер. Тобто пишемо формулу (так-так!)) і підставляємо наші числа:
117 = -3,6 + (n-1) · 1,2
Знову висловлюємо з формулиn, Вважаємо і отримуємо:
От чорт! номер вийшов дробовий!Сто один з половиною. А дрібних номерів в прогресія не буває.Який висновок зробимо? Так! число 117 не єчленом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто перше і сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто позитивним цілим, то число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку, відповідь завдання буде: немає.
Завдання на основі реального варіанту ДПА:
Арифметична прогресія задана умовою:
a n = -4 + 6,8n
Знайти перший і десятий члени прогресії.
Тут прогресія задана не зовсім звичним чином. Формула якась ... Буває.) Однак, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії!Вона теж дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.
Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член - мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула в завданню - видозмінена. Перший член арифметичної прогресії в ній захований.Нічого, зараз відшукаємо.)
Так само, як і в попередніх задачах, підставляємо n = 1в дану формулу:
a 1 = -4 + 6,8 · 1 = 2,8
Ось! Перший член 2,8, а не -4!
Аналогічно шукаємо десятий член:
a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64
Ось і всі справи.
А тепер, тим хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)
Припустимо, в складній бойовій обстановці ДПА або ЄДІ, ви призабули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось ... Чи то nтам, то чи n + 1, то чи n-1 ...Як бути!?
Спокій! Цю формулку легко вивести. Не дуже строго, але для впевненості і правильного рішення точно вистачить!) Для виведення досить пам'ятати елементарний сенс арифметичної прогресії і мати пару-трійку хвилин часу. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.
Малюємо числову вісь і відзначаємо на ній перший. другий, третій і т.п. члени. І відзначаємо різницю dміж членами. Ось так:
Дивимося на картинку і міркуємо: чому дорівнює другий член? другий одне d:
a 2 = A 1 + 1 · d
Чому дорівнює третій член? третійчлен дорівнює перший член плюс два d.
a 3 = A 1 + 2 · d
Відчуваєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну ладно, ще один крок).
Чому дорівнює четвертий член? четвертийчлен дорівнює перший член плюс три d.
a 4 = A 1 + 3 · d
Пора збагнути, що кількість проміжків, тобто d, завжди на один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1.Стало бути, формула буде (без варіантів!):
| a n = a 1 + (n-1) d |
Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань в математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо вже картинку намалювати важко, то ... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до вирішення весь потужний арсенал математики - рівняння, нерівності, системи і т.д. Картинку-то в рівняння не вставиш ...
Завдання для самостійного рішення.
Для розминки:
1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 = 3; a 5 = 5,1. Знайти a 3.
Підказка: по картинці завдання вирішується секунд за 20 ... По формулі - складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 ця задачка вирішена і по картинці, і по формулі. Відчуйте різницю!)
А це - вже не розминка.)
2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Знайти a 3.
Що, не хочеться картинку малювати?) Ще б! Вже краще за формулою, так ...
3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.
У цьому завданні прогресія задана рекурентним способом. Але вважати до ста й двадцяти п'ятого члена ... Не всім такий подвиг під силу.) Зате формула n-го члена під силу кожному!
4. Дана арифметична прогресія (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Знайти номер найменшого позитивного члена прогресії.
5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного і найбільшого негативного членів прогресії.
6. Твір п'ятого і дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього і одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14.
Чи не найпростіша завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не пройде. Доведеться формули писати так рівняння вирішувати.
Відповіді (в безладді):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Вийшло? Це приємно!)
Чи не все виходить? Буває. До речі, в останньому завданні є один тонкий момент. Уважність при читанні завдання буде потрібно. І логіка.
Рішення всіх цих завдань докладно розібрано в Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостий, і загальні підходи для вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена - все розписано. Рекомендую.
Якщо Вам подобається цей сайт ...
До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)
можна познайомитися з функціями і похідними.