Формула суми елементів арифметичній прогресії. Як знайти арифметичну прогресію? Арифметична прогресія приклади з рішенням. Члени прогресії і рекуррентная формула
У математиці є своя краса, як у живописі і поезії.
Російський учений, механік Н.Є. Жуковський
Дуже розповсюдженими завданнями на вступних випробуванняхз математики є завдання, пов'язані з поняттям арифметичній прогресії. Для успішного вирішення таких завдань необхідно добре знати властивості арифметичної прогресії і мати певні навички їх застосування.
Попередньо нагадаємо основні властивості арифметичної прогресії і наведемо найбільш важливі формули, пов'язані з цим поняттям.
Визначення. числова послідовність, в якій кожний наступний член відрізняється від попереднього на одне і те ж число, називається арифметичною прогресією. При цьому числоназивається різницею прогресії.
Для арифметичної прогресії справедливі формули
, (1)
де. Формула (1) називається формулою загального члена арифметичної прогресії, а формула (2) являє собою основну властивість арифметичної прогресії: кожен член прогресії збігається із середнім арифметичним своїх сусідніх членів і.
Відзначимо, що саме через це властивості розглянута прогресія називається «арифметичної».
Наведені вище формули (1) і (2) узагальнюються наступним чином:
(3)
Для обчислення сумиперших членів арифметичної прогресіїзазвичай застосовується формула
(5) де і.
Якщо взяти до уваги формулу (1), то з формули (5) випливає
Якщо позначити, то
де. Так як, то формули (7) і (8) є узагальненням відповідних формул (5) і (6).
Зокрема , з формули (5) слід, що
До числа маловідомих більшості учнів відноситься властивість арифметичної прогресії, сформульоване за допомогою наступної теореми.
Теорема.Якщо то
Доведення.Якщо то
Теорема доведена.
наприклад, використовуючи теорему, Можна показати, що
Перейдемо до розгляду типових прикладів розв'язання задач на тему «Арифметична прогресія».
Приклад 1.Нехай і. Знайти.
Рішення.Застосовуючи формулу (6), отримуємо. Так як і, то або.
Приклад 2.Нехай в три рази більше, а при діленні на в приватному виходить 2 і в залишку 8. Визначити і.
Рішення.З умови прикладу випливає система рівнянь
Так як,, і, то з системи рівнянь (10) отримуємо
Рішенням даної системи рівнянь є і.
Приклад 3.Знайти, якщо і.
Рішення.Відповідно до формули (5) маємо або. Однак, використовуючи властивість (9), отримуємо.
Так як і, то з рівності випливає рівнянняабо.
Приклад 4.Знайти, якщо.
Рішення.За формулою (5) маємо
Однак, використовуючи теорему, можна записати
Звідси і з формули (11) отримуємо.
приклад 5. Дано:. Знайти.
Рішення.Так як, то. Однак, тому.
Приклад 6.Нехай, і. Знайти.
Рішення.Використовуючи формулу (9), отримуємо. Тому, якщо, то або.
Так як і, то тут маємо систему рівнянь
Вирішуючи яку, отримуємо і.
Натуральним коренем рівнянняє.
Приклад 7.Знайти, якщо і.
Рішення.Так як за формулою (3) маємо, що, то з умови задачі випливає система рівнянь
Якщо підставити виразв друге рівняння системи, То отримаємо або.
Корінням квадратного рівняння єі.
Розглянемо два випадки.
1. Нехай, тоді. Оскільки і, то.
В такому випадку, згідно з формулою (6), маємо
2. Якщо, то, і
Відповідь: і.
Приклад 8.Відомо, що і. Знайти.
Рішення.Беручи до уваги формулу (5) і умову прикладу, запишемо і.
Звідси випливає система рівнянь
Якщо перше рівняння системи помножимо на 2, а потім складемо його до другого рівняння, то отримаємо
Відповідно до формули (9) маємо. У зв'язку з цим з (12) випливаєабо.
Оскільки і, то.
Відповідь:.
Приклад 9.Знайти, якщо і.
Рішення.Оскільки, і за умовою, то чи.
З формули (5) відомо, Що. Так як, то.
отже, тут маємо систему лінійних рівнянь
Звідси отримуємо і. Беручи до уваги формулу (8), запишемо.
Приклад 10.Розв'язати рівняння .
Рішення.З заданого рівняння слід, що. Покладемо, що,, і. В такому випадку .
Відповідно до формули (1), можна записати або.
Так як, то рівняння (13) має єдиний підходящий корінь.
Приклад 11.Знайти максимальне значення за умови, що і.
Рішення.Так як, то розглянута арифметична прогресія є спадною. У зв'язку з цим вираз приймає максимальне значення в тому випадку, коли є номером мінімального позитивного члена прогресії.
Скористаємося формулою (1) і тим фактом, що і . Тоді отримаємо, що або.
Оскільки, то чи . Однак в цьому нерівностінайбільше натуральне число, Тому.
Якщо значення, і підставити в формулу (6), то отримаємо.
Відповідь:.
Приклад 12.Визначити суму всіх двозначних натуральних чисел, які при діленні на число 6 дають в залишку 5.
Рішення.Позначимо через безліч всіх двозначних натуральних чисел, тобто . Далі, побудуємо підмножина, що складається з тих елементів (чисел) безлічі, які при діленні на число 6 дають в залишку 5.
неважко встановити, Що. очевидно, що елементи множиниутворюють арифметичну прогресію, В якій і.
Для встановлення потужності (числа елементів) множини покладемо, що. Так як і, то з формули (1) слід або. Беручи до уваги формулу (5), отримаємо.
Наведені вище приклади розв'язання задач ні в якому разі не можуть претендувати на вичерпну повноту. Ця стаття написана на основі аналізу сучасних методів вирішення типових задач на задану тему. Для більш глибокого вивчення методів вирішення завдань, пов'язаних з арифметичною прогресією, доцільно звернутися до списку рекомендованої літератури.
1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / Под ред. М.І. Сканаві. - М .: Мир і Освіта, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.
3. Мединський М.М. Повний курс елементарної математики в задачах і вправах. Книга 2: Числові послідовності та прогресії. - М .: Едітус, 2015. - 208 с.
Залишилися питання?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
У чому головна сутьформули?
Ця формула дозволяє знайти будь-який ПО ЙОГО НОМЕРОМ " n " .
Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1і різниця прогресії d, Ну так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.
Завчити (або зашпаргаліть) цю формулу мало. Треба засвоїти її суть і попріменять формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, да ...) Як не забути- я не знаю. А от як згадати,при необхідності, - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)
Отже, розберемося з формулою n-го члена арифметичної прогресії.
Що таке формула взагалі - ми собі уявляємо.) Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії - доступно викладено в попередньому уроці. Загляньте, до речі, якщо не читали. Там все просто. Залишилося розібратися, що таке n-й член.
Прогресію в загальному вигляді можна записати у вигляді ряду чисел:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- позначає перший член арифметичної прогресії, a 3- третій член, a 4- четвертий, і так далі. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5, Якщо сто двадцятий - з a 120.
А як позначити в загальному вигляді будь-якийчлен арифметичної прогресії, з будь-якимномером? Дуже просто! Ось так:
a n
Це і є n-й член арифметичної прогресії.Під буквою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4, і так далі.
І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри букву записали ...
Ця запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. використовуючи позначення a n, Ми можемо швидко знайти будь-якийчлен будь-якийарифметичної прогресії. І ще купу задач по прогресії вирішити. Самі далі побачите.
У формулі n-го члена арифметичної прогресії:
| a n = a 1 + (n-1) d |
a 1- перший член арифметичної прогресії;
n- номер члена.
Формула пов'язує ключові параметри будь прогресії: a n; a 1; dі n. Навколо цих параметрів і крутяться всі завдання по прогресії.
Формула n-го члена може використовуватися і для запису конкретної прогресії. Наприклад, в задачі може бути сказано, що прогресія задана умовою:
a n = 5 + (n-1) · 2.
Така задачка може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умова з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 = 5, а d = 2.
А буває ще зліше!) Якщо взяти той же умова: a n = 5 + (n-1) · 2,да розкрити дужки і привести подібні? Отримаємо нову формулу:
a n = 3 + 2n.
це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут і криється підводний камінь. Деякі думають, що перший член - це трійка. Хоча реально перший член - п'ятірка ... Трохи нижче ми попрацюємо з такою видозміненій формулою.
У завданнях на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n + 1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більше номера n на одиницю. Наприклад, якщо в якій-небудь задачі ми беремо за a nп'ятий член, то a n + 1буде шостим членом. І тому подібне.
Найчастіше позначення a n + 1зустрічається в рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова!) Це просто спосіб вираження члена арифметичної прогресії через попередній.Припустимо, нам дана арифметична прогресія ось в такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:
a n + 1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Четвертий - через третій, п'ятий - через четвертий, і так далі. А як порахувати відразу, скажімо двадцятий член, a 20? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємося, 20-й не порахувати. В цьому і є принципова відмінність рекуррентной формули від формули n-го члена. Рекурентна працює тільки через попереднійчлен, а формула n-го члена - через першийі дозволяє відразузнаходити будь-який член за його номером. Чи не прораховуючи весь ряд чисел по порядочку.
В арифметичній прогресії рекуррентную формулу легко перетворити в звичайну. Порахувати пару послідовних членів, обчислити різницю d,знайти, якщо треба, перший член a 1, Записати формулу в звичайному вигляді, та й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.
Застосування формули n-го члена арифметичної прогресії.
Для початку розглянемо пряме застосування формули. В кінці попереднього уроку була задачка:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121, якщо a 1 = 3, а d = 1/6.
Це завдання можна без жодних формул вирішити, просто виходячи зі змісту арифметичної прогресії. Додавати, так додавати ... Годинку-другий.)
А по формулі рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.
В умовах наведені всі дані для використання формули: a 1 = 3, d = 1/6.Залишається зрозуміти, чому дорівнює n.Не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:
Прошу звернути увагу! замість індексу nз'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один.Ось це і буде наш n.Саме це значення n= 121 ми і підставимо далі в формулу, в дужки. Підставляємо всі числа в формулу і вважаємо:
a 121 = 3 + (121-1) · 1/6 = 3 + 20 = 23
Ось і всі справи. Так само швидко можна було б знайти, і п'ять сотень десятий член, і тисяча третій, будь-хто. ставимо замість nпотрібний номер в індексі у літери " a "і в дужках, та й вважаємо.
Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-якийчлен арифметичної прогресії ПО ЙОГО НОМЕРОМ " n " .
Вирішимо завдання хитріше. Нехай нам попалася така задачка:
Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 = -2; d = -0,5.
Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії!Так Так. Руками запишіть, прямо в зошиті:
| a n = a 1 + (n-1) d |
А тепер, дивлячись на літери формули, міркуємо, які дані у нас є, а чого не вистачає? є d = -0,5,є сімнадцятий член ... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так ...
У нас ще є номер n! В умови a 17 = -2заховані два параметра.Це і значення сімнадцятого члена (-2), і його номер (17). Тобто n = 17.Ця "дрібниця" часто проскакує повз голови, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) Завдання не вирішити. Хоча ... і без голови теж.)
Тепер можна просто тупо підставити наші дані в формулу:
a 17 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ах да, a 17нам відомо, це -2. Ну ладно, підставимо:
-2 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ось, по суті, і все. Залишилося виразити перший член арифметичної прогресії з формули, та порахувати. Вийде відповідь: a 1 = 6.
Такий прийом - запис формули і проста підстановка відомих даних - здорово допомагає в простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити !? Без цього вміння математику можна взагалі не вивчати ...
Ще одна популярна завдання:
Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 = 2; a 15 = 12.
Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)
| a n = a 1 + (n-1) d |
Міркуємо, що нам відомо: a 1 = 2; a 15 = 12; і (спеціально виділю!) n = 15. Сміливо підставляємо в формулу:
12 = 2 + (15-1) d
Вважаємо арифметику.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Це правильна відповідь.
Так, завдання на a n, a 1і dповирішували. Залишилося навчитися номер знаходити:
Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 12; d = 3. Знайти номер цього члена.
Підставляємо в формулу n-го члена відомі нам величини:
a n = 12 + (n-1) · 3
На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n і n.але a n- це якийсь член прогресії з номером n... І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 в формулу:
99 = 12 + (n-1) · 3
Висловлюємо з формули n, Вважаємо. Отримаємо відповідь: n = 30.
А тепер завдання на ту ж тему, але більш творча):
Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Знову пишемо формулу. Що, немає ніяких параметрів? Гм ... А очі нам навіщо дадени?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це -3,6. Можна сміливо записати: a 1 = -3,6.різниця dможна з ряду визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різниця арифметичної прогресії:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером nі незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що даний саме член прогресії. А тут і того не знаємо ... Як бути !? Ну, як бути, як бути ... Включити творчі здібності!)
ми припустимо,що 117 - це, все-таки, член нашої прогресії. З невідомих номером n. І, точно як в попередній задачі, спробуємо знайти цей номер. Тобто пишемо формулу (так-так!)) і підставляємо наші числа:
117 = -3,6 + (n-1) · 1,2
Знову висловлюємо з формулиn, Вважаємо і отримуємо:
От чорт! номер вийшов дробовий!Сто один з половиною. А дрібних номерів в прогресія не буває.Який висновок зробимо? Так! число 117 не єчленом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто перше і сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто позитивним цілим, то число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку, відповідь завдання буде: немає.
Завдання на основі реального варіанту ДПА:
Арифметична прогресія задана умовою:
a n = -4 + 6,8n
Знайти перший і десятий члени прогресії.
Тут прогресія задана не зовсім звичним чином. Формула якась ... Буває.) Однак, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії!Вона теж дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.
Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член - мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула в завданню - видозмінена. Перший член арифметичної прогресії в ній захований.Нічого, зараз відшукаємо.)
Так само, як і в попередніх задачах, підставляємо n = 1в дану формулу:
a 1 = -4 + 6,8 · 1 = 2,8
Ось! Перший член 2,8, а не -4!
Аналогічно шукаємо десятий член:
a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64
Ось і всі справи.
А тепер, тим хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)
Припустимо, в складній бойовій обстановці ДПА або ЄДІ, ви призабули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось ... Чи то nтам, то чи n + 1, то чи n-1 ...Як бути!?
Спокій! Цю формулку легко вивести. Не дуже строго, але для впевненості і правильного рішення точно вистачить!) Для виведення досить пам'ятати елементарний сенс арифметичної прогресії і мати пару-трійку хвилин часу. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.
Малюємо числову вісь і відзначаємо на ній перший. другий, третій і т.п. члени. І відзначаємо різницю dміж членами. Ось так:
Дивимося на картинку і міркуємо: чому дорівнює другий член? другий одне d:
a 2 = A 1 + 1 · d
Чому дорівнює третій член? третійчлен дорівнює перший член плюс два d.
a 3 = A 1 + 2 · d
Відчуваєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну ладно, ще один крок).
Чому дорівнює четвертий член? четвертийчлен дорівнює перший член плюс три d.
a 4 = A 1 + 3 · d
Пора збагнути, що кількість проміжків, тобто d, завжди на один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1.Стало бути, формула буде (без варіантів!):
| a n = a 1 + (n-1) d |
Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань в математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо вже картинку намалювати важко, то ... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до вирішення весь потужний арсенал математики - рівняння, нерівності, системи і т.д. Картинку-то в рівняння не вставиш ...
Завдання для самостійного рішення.
Для розминки:
1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 = 3; a 5 = 5,1. Знайти a 3.
Підказка: по картинці завдання вирішується секунд за 20 ... По формулі - складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 ця задачка вирішена і по картинці, і по формулі. Відчуйте різницю!)
А це - вже не розминка.)
2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Знайти a 3.
Що, не хочеться картинку малювати?) Ще б! Вже краще за формулою, так ...
3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.
У цьому завданні прогресія задана рекурентним способом. Але вважати до ста й двадцяти п'ятого члена ... Не всім такий подвиг під силу.) Зате формула n-го члена під силу кожному!
4. Дана арифметична прогресія (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Знайти номер найменшого позитивного члена прогресії.
5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного і найбільшого негативного членів прогресії.
6. Твір п'ятого і дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього і одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14.
Чи не найпростіша завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не пройде. Доведеться формули писати так рівняння вирішувати.
Відповіді (в безладді):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Вийшло? Це приємно!)
Чи не все виходить? Буває. До речі, в останньому завданні є один тонкий момент. Уважність при читанні завдання буде потрібно. І логіка.
Рішення всіх цих завдань докладно розібрано в Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостий, і загальні підходи для вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена - все розписано. Рекомендую.
Якщо Вам подобається цей сайт ...
До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)
можна познайомитися з функціями і похідними.
Наприклад, послідовність \ (2 \); \ (5 \); \ (8 \); \ (11 \); \ (14 \) ... є арифметичною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на три (може бути отриманий з попереднього додатком трійки):
У цій прогресії різниця \ (d \) позитивна (дорівнює \ (3 \)), і тому кожен наступний член більше попереднього. Такі прогресії називаються зростаючими.
Однак \ (d \) може бути і негативним числом. наприклад, В арифметичній прогресії \ (16 \); \ (10 \); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... різниця прогресії \ (d \) дорівнює мінус шести.
І в цьому випадку кожен наступний елемент буде менше, ніж попередній. Ці прогресії називаються убутними.
Позначення арифметичної прогресії
Прогресію позначають маленької латинською літерою.
Числа, що утворюють прогресію, називають її членами(Або елементами).
Їх позначають тією ж буквою що і арифметичну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.
Наприклад, арифметична прогресія \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) складається з елементів \ (a_1 = 2 \); \ (A_2 = 5 \); \ (A_3 = 8 \) і так далі.
Іншими словами, для прогресії \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)
Рішення задач на арифметичну прогресію
В принципі, викладеної вище інформації вже достатньо, щоб вирішувати практично будь-яке завдання на арифметичну прогресію (в тому числі з тих, що пропонують на ОГЕ).
Приклад (ОГЕ).
Арифметична прогресія задана умовами \ (b_1 = 7; d = 4 \). Знайдіть \ (b_5 \).
Рішення:
відповідь: \ (B_5 = 23 \)
Приклад (ОГЕ).
Дано перші три члена арифметичної прогресії: \ (62; 49; 36 ... \) Знайдіть значення першого негативного члена цієї прогресії ..
Рішення:
|
Нам дано перші елементи послідовності і відомо, що вона - арифметична прогресія. Тобто, кожен елемент відрізняється від сусіднього на одне і те ж число. Дізнаємося на яке, вирахувавши з наступного елемента попередній: \ (d = 49-62 = -13 \). |
|
|
Тепер ми можемо відновити нашу прогресію до потрібного нам (першого негативного) елемента. |
|
|
Готово. Можна писати відповідь. |
відповідь: \(-3\)
Приклад (ОГЕ).
Дано кілька йдуть підряд елементів арифметичної прогресії: \ (... 5; x; 10; 12,5 ... \) Знайдіть значення елемента, позначеного літерою \ (x \).
Рішення:
|
|
Щоб знайти \ (x \), нам потрібно знати на скільки наступний елемент відрізняється від попереднього, інакше кажучи - різниця прогресії. Знайдемо її з двох відомих сусідніх елементів: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \). |
|
|
А зараз без проблем знаходимо шукане: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \). |
|
|
Готово. Можна писати відповідь. |
відповідь: \(7,5\).
Приклад (ОГЕ).
Арифметична прогресія задана наступними умовами: \ (a_1 = -11 \); \ (A_ (n + 1) = a_n + 5 \) Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:
|
Нам потрібно знайти суму перших шести членів прогресії. Але ми не знаємо їх значень, нам дано тільки перший елемент. Тому спочатку обчислюємо значення по черзі, використовуючи дане нам: \ (N = 1 \); \ (A_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) |
|
|
\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) |
Шукана сума знайдена. |
відповідь: \ (S_6 = 9 \).
Приклад (ОГЕ).
В арифметичній прогресії \ (a_ (12) = 23 \); \ (A_ (16) = 51 \). Знайдіть різницю цієї прогресії.
Рішення:
відповідь: \ (D = 7 \).
Важливі формули арифметичної прогресії
Як бачите, багато завдань по арифметичній прогресії можна вирішувати, просто зрозумівши головне - те, що арифметична прогресія є ланцюжок чисел, і кожен наступний елемент в цьому ланцюжку виходить додатком до попереднього одного і того ж числа (різниці прогресії).
Однак часом зустрічаються ситуації, коли вирішувати «в лоб» досить незручно. Наприклад, уявіть, що в самому першому прикладі нам потрібно знайти не п'ятий елемент \ (b_5 \), а триста вісімдесят шостій \ (b_ (386) \). Це що ж, нам \ (385 \) раз додавати четвірку? Або уявіть, що в передостанньому прикладі треба знайти суму перших сімдесяти трьох елементів. Вважати замучить ...
Тому в таких випадках «в лоб» не вирішують, а використовують спеціальні формули, виведені для арифметичної прогресії. І головні з них це формула енної члена прогресії і формула суми \ (n \) перших членів.
Формула \ (n \) - го члена: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), де \ (a_1 \) - перший член прогресії;
\ (N \) - номер шуканого елемента;
\ (A_n \) - член прогресії з номером \ (n \).
Ця формула дозволяє нам швидко знайти хоч трьохсотий, хоч мільйонний елемент, знаючи тільки перший і різниця прогресії.
Приклад.
Арифметична прогресія задана умовами: \ (b_1 = -159 \); \ (D = 8,2 \). Знайдіть \ (b_ (246) \).
Рішення:
відповідь: \ (B_ (246) = 1850 \).
Формула суми n перших членів: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), де
\ (A_n \) - останній сумовною член;
Приклад (ОГЕ).
Арифметична прогресія задана умовами \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Знайдіть суму перших \ (25 \) членів цієї прогресії.
Рішення:
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) |
Щоб обчислити суму перших двадцяти п'яти елементів, нам потрібно знати значення першого і двадцять п'ятого члена. |
|
|
\ (N = 1; \) \ (a_1 = 3,4 · 1-0,6 = 2,8 \) |
Тепер знайдемо двадцять п'ятого член, підставивши замість \ (n \) за рибу гроші. |
|
|
\ (N = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 · 25-0,6 = 84,4 \) |
Ну, а зараз без проблем обчислюємо потрібну суму. |
|
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) |
Відповідь готовий. |
відповідь: \ (S_ (25) = 1090 \).
Для суми \ (n \) перших членів можна отримати ще одну формулу: потрібно просто в \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) замість \ (a_n \) підставити формулу для нього \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). отримаємо:
Формула суми n перших членів: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), де
\ (S_n \) - шукана сума \ (n \) перших елементів;
\ (A_1 \) - перший сумовною член;
\ (D \) - різниця прогресії;
\ (N \) - кількість елементів в сумі.
Приклад.
Знайдіть суму перших \ (33 \) - ех членів арифметичної прогресії: \ (17 \); \ (15,5 \); \ (14 \) ...
Рішення:
відповідь: \ (S_ (33) = - 231 \).
Більш складні завдання на арифметичну прогресію
Тепер у вас є вся необхідна інформація для вирішення практично будь-якої задачі на арифметичну прогресію. Завершимо тему розглядом задач, в яких треба не просто застосовувати формули, але і трохи думати (в математиці це буває корисно ☺)
Приклад (ОГЕ).
Знайдіть суму всіх негативних членів прогресії: \ (- 19,3 \); \ (- 19 \); \ (- 18,7 \) ...
Рішення:
|
\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) |
Завдання дуже схожа на попередню. Починаємо вирішувати також: спочатку знайдемо \ (d \). |
|
|
\ (D = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \) |
Тепер би підставити \ (d \) в формулу для суми ... і ось тут спливає маленький нюанс - ми не знаємо \ (n \). Інакше кажучи, не знаємо скільки членів потрібно буде скласти. Як це з'ясувати? Давайте думати. Ми припинимо складати елементи тоді, коли дійдемо до першого позитивного елементу. Тобто, потрібно дізнатися номер цього елемента. Як? Запишемо формулу обчислення будь-якого елементу арифметичної прогресії: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) для нашого випадку. |
|
|
\ (A_n = a_1 + (n-1) d \) |
||
|
\ (A_n = -19,3 + (n-1) · 0,3 \) |
Нам потрібно, щоб \ (a_n \) став більше нуля. З'ясуємо, при якому \ (n \) це станеться. |
|
|
\ (- 19,3+ (n-1) · 0,3> 0 \) |
||
|
\ ((N-1) · 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \) |
Ділимо обидві частини нерівності на \ (0,3 \). |
|
|
\ (N-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) |
Переносимо мінус одиницю, не забуваючи міняти знаки |
|
|
\ (N> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \) |
Обчислюємо ... |
|
|
\ (N> 65,333 ... \) |
... і з'ясовується, що перший позитивний елемент матиме номер \ (66 \). Відповідно, останній негативний має \ (n = 65 \). Про всяк випадок, перевіримо це. |
|
|
\ (N = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) · 0,3 = -0,1 \) |
Таким чином, нам потрібно скласти перші \ (65 \) елементів. |
|
|
\ (S_ (65) = \) \ (\ Frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ Cdot 65 \) |
Відповідь готовий. |
відповідь: \ (S_ (65) = - 630,5 \).
Приклад (ОГЕ).
Арифметична прогресія задана умовами: \ (a_1 = -33 \); \ (A_ (n + 1) = a_n + 4 \). Знайдіть суму від \ (26 \) - го до \ (42 \) елемента включно.
Рішення:
|
\ (A_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \) |
У цьому завданні також потрібно знайти суму елементів, але починаючи не з першого, а з \ (26 \) - го. Для такого випадку у нас формули немає. Як вирішувати? |
|
|
Для нашої прогресії \ (a_1 = -33 \), а різниця \ (d = 4 \) (адже саме четвірку ми додаємо до попереднього елемента, щоб знайти наступний). Знаючи це, знайдемо суму перших \ (42 \) - двох елементів. |
|
\ (S_ (42) = \) \ (\ Frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ Cdot 42 = \) |
Тепер суму перших \ (25 \) - ти елементів. |
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ Frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ Cdot 25 = \) |
Ну і нарешті, обчислюємо відповідь. |
|
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \) |
відповідь: \ (S = 1683 \).
Для арифметичної прогресії існує ще кілька формул, які ми не розглядали в даній статті через їхню малу практичної користі. Однак ви без праці можете знайти їх.
Так, так: арифметична прогресія - це вам не іграшки :) Що ж, друзі, якщо ви читаєте цей текст, то внутрішній кеп-очевидність підказує мені, що ви поки ще не знаєте, що таке арифметична прогресія, але дуже (немає, ось так: Ооооочень!) Хочете дізнатися. Тому не буду мучити вас довгими вступами і відразу перейду до справи.
Для початку парочка прикладів. Розглянемо кілька наборів чисел:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \ Sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $
Що спільного у всіх цих наборів? На перший погляд - нічого. Але насправді дещо є. А саме: кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на одне і те ж число.
Судіть самі. Перший набір - це просто йдуть підряд числа, кожне наступне на одиницю більше попереднього. У другому випадку різниця між рядом стоять числами вже дорівнює п'яти, але ця різниця все одно постійна. У третьому випадку взагалі коріння. Однак $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, а $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, тобто і в цьому випадку кожен наступний елемент просто зростає на $ \ sqrt (2) $ (і нехай вас не лякає, що це число - ірраціональне).
Так ось: всі такі послідовності як раз і називаються арифметичними прогресіями. Дамо суворе визначення:
Визначення. Послідовність чисел, в якій кожне наступне відрізняється від попереднього рівно на одну і ту ж величину, називається арифметичною прогресією. Сама величина, на яку відрізняються числа, називається різницею прогресії і найчастіше позначається буквою $ d $.
Позначення: $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ - сама прогресія, $ d $ - її різницю.
І відразу парочка важливих зауважень. По-перше, прогресією вважається лише упорядкованапослідовність чисел: їх дозволено читати строго в тому порядку, в якому вони записані - і ніяк інакше. Переставляти і міняти місцями числа не можна.
По-друге, сама послідовність може бути як кінцевої, так і нескінченною. Наприклад, набір (1; 2; 3) - це, очевидно, кінцева арифметична прогресія. Але якщо записати що-небудь в дусі (1; 2; 3; 4; ...) - це вже нескінченна прогресія. Три крапки після четвірки ніби натякає, що далі йде ще досить багато чисел. Нескінченно багато, наприклад. :)
Ще хотів би відзначити, що прогресії бувають зростаючими і спадними. Зростаючі ми вже бачили - той же набір (1; 2; 3; 4; ...). А ось приклади відбувають прогресій:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \ Sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $
Гаразд, гаразд: останній приклад може здатися надто складним. Але інші, думаю, вам зрозумілі. Тому введемо нові визначення:
Визначення. Арифметична прогресія називається:
- зростаючої, якщо кожен наступний елемент більше попереднього;
- спадною, якщо, навпаки, кожний наступний елемент менше попереднього.
Крім того, існують так звані «стаціонарні» послідовності - вони складаються з одного і того ж повторюваного числа. Наприклад, (3; 3; 3; ...).
Залишається лише одне питання: як відрізнити зростаючу прогресію від спадної? На щастя, тут все залежить лише від того, який знак числа $ d $, тобто різниці прогресії:
- Якщо $ d \ gt 0 $, то прогресія зростає;
- Якщо $ d \ lt 0 $, то прогресія, очевидно, зменшується;
- Нарешті, є випадок $ d = 0 $ - в цьому випадку вся прогресія зводиться до стаціонарної послідовності однакових чисел: (1; 1; 1; 1; ...) і т.д.
Спробуємо розрахувати різницю $ d $ для трьох відбувають прогресій, наведених вище. Для цього достатньо взяти будь-які два сусідні елементи (наприклад, перший і другий) і відняти з числа, що стоїть праворуч, число, що стоїть ліворуч. Виглядати це буде ось так:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \ Sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.
Як бачимо, у всіх трьох випадкахрізницю дійсно вийшла негативною. І тепер, коли ми більш-менш розібралися з визначеннями, пора розібратися з тим, як описуються прогресії і які у них властивості.
Члени прогресії і рекуррентная формула
Оскільки елементи наших послідовностей не можна міняти місцями, їх можна пронумерувати:
\ [\ Left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ right \) \]
Окремі елементи цього набору називаються членами прогресії. На них так і вказують за допомогою номера: перший член, другий член і т.д.
Крім того, як ми вже знаємо, сусідні члени прогресії пов'язані формулою:
\ [((A) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]
Коротше кажучи, щоб знайти $ n $ -й член прогресії, потрібно знати $ n-1 $ -й член і різниця $ d $. Така формула називається рекуррентной, оскільки з її допомогою можна знайти будь-яке число, лише знаючи попереднє (а по факту - всі попередні). Це дуже незручно, тому існує більш хитра формула, яка зводить будь-які обчислення до першого члену і різниці:
\ [((A) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \]
Напевно ви вже зустрічалися з цією формулою. Її люблять давати у всяких довідниках і решебники. Та й в будь-якому тлумачному підручнику з математики вона йде однією з перших.
Проте пропоную трохи потренуватися.
Завдання №1. Випишіть перші три члена арифметичної прогресії $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $, якщо $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.
Рішення. Отже, нам відомий перший член $ ((a) _ (1)) = 8 $ і різниця прогресії $ d = -5 $. Скористаємося тільки що наведеної формулою і підставимо $ n = 1 $, $ n = 2 $ і $ n = 3 $:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ left (1-1 \ right) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ left (2-1 \ right) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ left (3-1 \ right) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (align) \]
Відповідь: (8; 3; -2)
От і все! Зверніть увагу: наша прогресія - спадна.
Звичайно, $ n = 1 $ можна було і не підставляти - перший член нам і так відомий. Втім, підставивши одиницю, ми переконалися, що навіть для першого члена наша формула працює. В інших випадках все звелося до банальної арифметики.
Завдання №2. Випишіть перші три члена арифметичної прогресії, якщо її сьомий член дорівнює -40, а сімнадцятий член дорівнює -50.
Рішення. Запишемо умову задачі в звичних термінах:
\ [((A) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]
\ [\ Left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (align) \ right. \]
\ [\ Left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ right. \]
Знак системи я поставив тому, що ці вимоги повинні виконуватися одночасно. А тепер зауважимо, якщо відняти з другого рівняння перше (ми маємо право це зробити, тому що у нас система), то отримаємо ось що:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50 \ left (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (align) \]
Ось так просто ми знайшли різниця прогресії! Залишилося підставити знайдене число в будь-який з рівнянь системи. Наприклад, на початку:
\ [\ Begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matrix) \]
Тепер, знаючи перший член і різницю, залишилося знайти другий і третій член:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (align) \]
Готово! Завдання вирішена.
Відповідь: (-34; -35; -36)
Зверніть увагу на цікаву властивість прогресії, яке ми виявили: якщо взяти $ n $ -й і $ m $ -й члени і відняти їх один з одного, то ми отримаємо різницю прогресії, помножену на число $ n-m $:
\ [((A) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ left (n-m \ right) \]
Просте, але дуже корисна властивість, Яке обов'язково треба знати - з його допомогою можна значно прискорити вирішення багатьох завдань по прогресу. Ось яскравий тому приклад:
Завдання №3. П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 8,4, а її десятий член дорівнює 14,4. Знайдіть п'ятнадцятий член цієї прогресії.
Рішення. Оскільки $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $, а потрібно знайти $ ((a) _ (15)) $, то зауважимо наступне:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ end (align) \]
Але за умовою $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = 6 $, тому $ 5d = 6 $, звідки маємо:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ end (align) \]
Відповідь: 20,4
От і все! Нам не треба було складати якісь системи рівнянь і вважати перший член і різницю - все вирішилося буквально в пару рядків.
Тепер розглянемо інший вид завдань - на пошук негативних і позитивних членів прогресії. Не секрет, що якщо прогресія зростає, при цьому перший член у неї негативний, то рано чи пізно в неї з'являться позитивні члени. І навпаки: члени спадної прогресії рано чи пізно стануть негативними.
При цьому далеко не завжди можна намацати цей момент «в лоб», послідовно перебираючи елементи. Найчастіше завдання складені так, що без знання формул обчислення зайняли б кілька листів - ми просто заснули б, поки знайшли відповідь. Тому спробуємо вирішити ці завдання більш швидким способом.
Завдання №4. Скільки негативних членів в арифметичній прогресії -38,5; -35,8; ...?
Рішення. Отже, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, звідки відразу знаходимо різницю:
Зауважимо, що різниця позитивна, тому прогресія зростає. Перший член негативний, тому дійсно в якийсь момент ми натрапимо на позитивні числа. Питання лише в тому, коли це станеться.
Спробуємо з'ясувати: до яких пір (тобто до якого натурального числа $ n $) зберігається негативність членів:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38,5+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ quad \ left | \ Cdot 10 \ right. \\ & -385 + 27 \ cdot \ left (n-1 \ right) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (align) \]
Останній рядок вимагає пояснень. Отже, нам відомо, що $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. З іншого боку, нас влаштують лише цілі значення номера (більш того: $ n \ in \ mathbb (N) $), тому найбільший допустимий номер - це саме $ n = 15 $, а ні в якому разі не 16.
Завдання №5. В арифметичній прогресії $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Знайдіть номер першого позитивного члена цієї прогресії.
Це була б точь-в-точь така ж завдання, як і попередня, проте нам невідомо $ ((a) _ (1)) $. Зате відомі сусідні члени: $ ((a) _ (5)) $ і $ ((a) _ (6)) $, тому ми легко знайдемо різницю прогресії:
Крім того, спробуємо висловити п'ятий член через перший і різниця за стандартною формулою:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ end (align) \]
Тепер чинимо по аналогії з попередньою завданням. З'ясовуємо, в який момент в нашій послідовності виникнуть позитивні числа:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (align) \]
Мінімальна целочисленное рішення даного нерівності - число 56.
Зверніть увагу: в останньому завданні все звелося до суворого нерівності, тому варіант $ n = 55 $ нас не влаштує.
Тепер, коли ми навчилися вирішувати прості завдання, перейдемо до більш складним. Але для початку давайте вивчимо ще одне дуже корисна властивість арифметичних прогресій, яке в майбутньому заощадить нам купу часу і нерівних клітин. :)
Середнє арифметичне і рівні відступи
Розглянемо кілька послідовних членів зростаючої арифметичної прогресії $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $. Спробуємо відзначити їх на числовій прямій:
Члени арифметичної прогресії на числовій прямійЯ спеціально зазначив довільні члени $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, а не якісь там $ ((a) _ (1)) , \ ((a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ і т.д. Тому що правило, про який я зараз розповім, однаково працює для будь-яких «відрізків».
А правило дуже просте. Давайте згадаємо рекуррентную формулу і запишемо її для всіх зазначених членів:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (align) \]
Однак ці рівності можна переписати інакше:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (align) \]
Ну і що з того? А то, що члени $ ((a) _ (n-1)) $ і $ ((a) _ (n + 1)) $ лежать на одному і тому ж відстані від $ ((a) _ (n)) $. І ця відстань дорівнює $ d $. Те ж саме можна сказати про члени $ ((a) _ (n-2)) $ і $ ((a) _ (n + 2)) $ - вони теж віддалені від $ ((a) _ (n)) $ на однакову відстань, рівну $ 2d $. Продовжувати можна до безкінечності, але сенс добре ілюструє картинка
Члени прогресії лежать на однаковій відстані від центру Що це означає для нас? Це означає, що можна знайти $ ((a) _ (n)) $, якщо відомі числа-сусіди:
\ [((A) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]
Ми вивели чудове твердження: всякий член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх членів! Більш того: ми можемо відступити від нашого $ ((a) _ (n)) $ вліво і вправо нема на один крок, а на $ k $ кроків - і все одно формула буде вірна:
\ [((A) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]
Тобто ми спокійно можемо знайти якесь $ ((a) _ (150)) $, якщо знаємо $ ((a) _ (100)) $ і $ ((a) _ (200)) $, тому що $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. На перший погляд може здатися, що даний факт не дає нам нічого корисного. Однак на практиці багато завдань спеціально «заточені» під використання середнього арифметичного. Погляньте:
Завдання №6. Знайдіть всі значення $ x $, при яких числа $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ і $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ є послідовними членами арифметичної прогресії (в зазначеному порядку).
Рішення. Оскільки зазначені числа є членами прогресії, для них виконується умова середнього арифметичного: центральний елемент $ x + 1 $ можна виразити через сусідні елементи:
\ [\ Begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (align) \]
Вийшло класичне квадратне рівняння. Його коріння: $ x = 2 $ і $ x = -3 $ - це і є відповіді.
Відповідь: -3; 2.
Завдання №7. Знайдіть значення $$, при яких числа $ 1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ складають арифметичну прогресію (в зазначеному порядку).
Рішення. знову висловимо середній членчерез середнє арифметичне сусідніх членів:
\ [\ Begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ Cdot 2 \ right .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (align) \]
Знову квадратне рівняння. І знову два кореня: $ x = 6 $ і $ x = 1 $.
Відповідь: 1; 6.
Якщо в процесі виконання завдання у вас вилазять якісь звірячі числа, або ви не до кінця впевнені в правильності знайдених відповідей, тобто чудовий прийом, що дозволяє перевірити: чи правильно ми розв'язали це завдання?
Припустимо, в завданню №6 ми отримали відповіді -3 і 2. Як перевірити, що ці відповіді вірні? Давайте просто підставимо їх у вихідне умова і подивимося, що вийде. Нагадаю, що у нас є три числа ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ і $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), які повинні складати арифметичну прогресію. Підставами $ x = -3 $:
\ [\ Begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ End (align) \]
Отримали числа -54; -2; 50, які відрізняються на 52 - безсумнівно, це арифметична прогресія. Те ж саме відбувається і при $ x = 2 $:
\ [\ Begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ End (align) \]
Знову прогресія, але з різницею 27. Таким чином, задача вирішена вірно. Бажаючі можуть перевірити другу задачу самостійно, але відразу скажу: там теж все вірно.
В цілому, вирішуючи останні завдання, ми натрапили на ще один цікавий факт, Який теж необхідно запам'ятати:
Якщо три числа такі, що друге є середнім арифметичним першого і останнього, то ці числа утворюють арифметичну прогресію.
В майбутньому розуміння цього твердження дозволить нам буквально «конструювати» потрібні прогресії, спираючись на умову задачі. Але перш ніж ми займемося подібним «конструюванням», слід звернути увагу на ще один факт, який прямо випливає з уже розглянутого.
Угруповання і сума елементів
Давайте ще раз повернемося до числової осі. Відзначимо там кілька членів прогресії, між якими, можливо. варто дуже багато інших членів:
На числовій прямій відзначені 6 елементівСпробуємо висловити «лівий хвіст» через $ ((a) _ (n)) $ і $ d $, а «правий хвіст» через $ ((a) _ (k)) $ і $ d $. Це дуже просто:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (align) \]
А тепер зауважимо, що дорівнюють наступні суми:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ End (align) \]
Простіше кажучи, якщо ми розглянемо в якості старту два елементи прогресії, які в сумі дорівнюють якомусь числу $ S $, а потім почнемо крокувати від цих елементів в протилежні сторони (назустріч один одному або навпаки на видалення), то суми елементів, на які ми будемо натикатися, теж будуть рівні$ S $. Найбільш наочно це можна представити графічно:
Однакові відступи дають однакові суми Розуміння цього факту дозволить нам вирішувати завдання принципово більш високого рівняскладності, ніж ті, що ми розглядали вище. Наприклад, такі:
Завдання №8. Визначте різницю арифметичної прогресії, в якій перший член дорівнює 66, а твір другого і дванадцятого членів є найменшим з можливих.
Рішення. Запишемо все, що нам відомо:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ End (align) \]
Отже, нам невідома різниця прогресії $ d $. Власне, навколо різниці і буде будуватися все рішення, оскільки твір $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ можна переписати таким чином:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right). \ End (align) \]
Для тих, хто в танку: я виніс загальний множник 11 з другої дужки. Таким чином, шукане твір представляє собою квадратичну функцію щодо змінної $ d $. Тому розглянемо функцію $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - її графіком буде парабола гілками вгору, тому що якщо розкрити дужки, то ми отримаємо:
\ [\ Begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]
Як бачимо, коефіцієнт при старшому слагаемом дорівнює 11 - це позитивне число, тому дійсно маємо справу з параболою гілками вгору:
графік квадратичної функції - парабола
Зверніть увагу: мінімальне значення ця парабола приймає в своїй вершині з абсцисою $ ((d) _ (0)) $. Звичайно, ми можемо порахувати цю абсциссу за стандартною схемою (є ж формула $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), але куди розумніше буде помітити, що шукана вершина лежить на осі симетрії параболи, тому точка $ ((d) _ (0)) $ рівновіддалена від коренів рівняння $ f \ left (d \ right) = 0 $:
\ [\ Begin (align) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (align) \]
Саме тому я не особливо поспішав розкривати дужки: в початковому вигляді коріння було знайти дуже і дуже просто. Отже, абсциса дорівнює середньому арифметичному чисел -66 і -6:
\ [((D) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]
Що дає нам виявлене число? При ньому необхідну твір приймає найменше значення(Ми, до речі, так і не порахували $ ((y) _ (\ min)) $ - від нас це не потрібно). Одночасно це число є різницею вихідної прогресії, тобто ми знайшли відповідь. :)
Відповідь: -36
Завдання №9. Між числами $ - \ frac (1) (2) $ і $ - \ frac (1) (6) $ вставте три числа так, щоб вони разом з даними числами склали арифметичну прогресію.
Рішення. По суті, нам потрібно скласти послідовність з п'яти чисел, причому перше і останнє число вже відомо. Позначимо відсутні числа змінними $ x $, $ y $ і $ z $:
\ [\ Left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]
Відзначимо, що число $ y $ є «серединою» нашої послідовності - воно рівновіддаленим і від чисел $ x $ і $ z $, і від чисел $ - \ frac (1) (2) $ і $ - \ frac (1) ( 6) $. І якщо з чисел $ x $ і $ z $ ми в даний момент не можемо отримати $ y $, то ось з кінцями прогресії інша справа. Згадуємо про середнє арифметичне:
Тепер, знаючи $ y $, ми знайдемо залишилися числа. Зауважимо, що $ x $ лежить між числами $ - \ frac (1) (2) $ і тільки що знайденим $ y = - \ frac (1) (3) $. Тому
Аналогічно розмірковуючи, знаходимо час, що залишився число:
Готово! Ми знайшли всі три числа. Запишемо їх у відповіді в тому порядку, в якому вони повинні бути вставлені між вихідними числами.
Відповідь: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $
Завдання №10. Між числами 2 і 42 вставте декілька чисел, які разом з даними числами утворюють арифметичну прогресію, якщо відомо, що сума першого, другого і останнього з вставлених чисел дорівнює 56.
Рішення. Ще більш складна задача, Яка, однак, вирішується за тією ж схемою, що і попередні - через середнє арифметичне. Проблема в тому, що нам невідомо, скільки конкретно чисел треба вставити. Тому покладемо для опредлённості, що після вставки за все буде рівно $ n $ чисел, причому перше з них - це 2, а останнє - 42. В цьому випадку шукана арифметична прогресія подана в вигляді:
\ [\ Left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ right \) \]
\ [((A) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]
Зауважимо, однак, що числа $ ((a) _ (2)) $ і $ ((a) _ (n-1)) $ виходять з стоять по краях чисел 2 і 42 шляхом одного кроку назустріч один одному, тобто . до центру послідовності. А це означає, що
\ [((A) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]
Але тоді записане вище вираз можна переписати так:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ right) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (align) \]
Знаючи $ ((a) _ (3)) $ і $ ((a) _ (1)) $, ми легко знайдемо різницю прогресії:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12-2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ left (3-1 \ right) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ end (align) \]
Залишилося лише знайти інші члени:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (align) \]
Таким чином, вже на 9-му кроці ми прийдемо в лівий кінець послідовності - число 42. Разом потрібно було вставити лише 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Відповідь: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Текстові завдання з прогресіями
На закінчення хотілося б розглянути парочку щодо простих завдань. Ну, як простих: для більшості учнів, які вивчають математику в школі і не читали того, що написано вище, ці завдання можуть здатися бляхою. Проте саме такі завдання трапляються в ОГЕ і ЄДІ з математики, тому рекомендую ознайомитися з ними.
Завдання №11. Бригада виготовила в січні 62 деталі, а в кожен наступний місяць виготовляла на 14 деталей більше, ніж в попередній. Скільки деталей виготовила бригада в листопаді?
Рішення. Очевидно, кількість деталей, розписане по місяцях, буде являти собою зростаючу арифметичну прогресію. причому:
\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 14. \\ \ end (align) \]
Листопад - це 11-й місяць в році, тому нам потрібно знайти $ ((a) _ (11)) $:
\ [((A) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]
Отже, в листопаді буде виготовлено 202 деталі.
Завдання №12. Палітурна майстерня переплела в січні 216 книг, а в кожен наступний місяць вона переплітала на 4 книги більше, ніж в попередній. Скільки книг переплела майстерня в грудні?
Рішення. Все теж саме:
$ \ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 4. \\ \ end (align) $
Грудень - це останній, 12-й місяць в році, тому шукаємо $ ((a) _ (12)) $:
\ [((A) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]
Це і є відповідь - 260 книг буде переплетено в грудні.
Що ж, якщо ви дочитали до сюди, поспішаю вас привітати: «курс молодого бійця» по арифметичній прогресії ви успішно пройшли. Можна сміливо переходити до наступного уроку, де ми вивчимо формулу суми прогресії, а також важливі і дуже корисні слідства з неї.
Тип уроку:вивчення нового матеріалу.
Мета уроку:
- розширення і поглиблення уявлень учнів про завдання, які вирішуються з використанням арифметичної прогресії; організація пошукової діяльності учнів при виведенні формули суми перших n членів арифметичної прогресії;
- розвиток умінь самостійно здобувати нові знання, використовувати для досягнення поставленого завдання вже отримані знання;
- вироблення бажання і потреби узагальнювати отримані факти, розвиток самостійності.
завдання:
- узагальнити і систематизувати наявні знання з теми "Арифметична прогресія";
- вивести формули для обчислення суми n перших членів арифметичної прогресії;
- навчити застосовувати отримані формули при вирішенні різних завдань;
- звернути увагу учнів на порядок дій при знаходженні значення числового виразу.
устаткування:
- картки із завданнями для роботи в групах і парах;
- оціночний лист;
- презентація"Арифметична прогресія".
I. Актуалізація опорних знань.
1. Самостійна робота в парах.
1-й варіант:
Дайте визначення арифметичній прогресії. Запишіть рекуррентную формулу, за допомогою якої задається арифметична прогресія. Привіт приклад арифметичної прогресії і вкажіть її різницю.
2-й варіант:
Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії. Знайдіть 100-й член арифметичної прогресії ( a n}: 2, 5, 8 …
В цей час два учня на зворотному боцідошки готують відповіді на ці ж питання.
Учні оцінюють роботу партнера, звіряючи з дошкою. (Листочки з відповідями здають).
2. Ігровий момент.
Завдання 1.
Учитель.Я задумала деяку арифметичну прогресію. Задайте мені тільки два питання, щоб після відповідей ви швидко змогли б назвати 7-й член цієї прогресії. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)
Питання учнів.
- Чому дорівнює шостій член прогресії і чому дорівнює різниця?
- Чому дорівнює восьмий член прогресії і чому дорівнює різниця?
Якщо запитань більше не буде, то вчитель може стимулювати їх - "заборона" на d (різниця), тобто не дозволяється запитувати чому дорівнює різниця. Можна задати питання: чому дорівнює 6-й член прогресії і чому дорівнює 8-й член прогресії?
Завдання 2.
На дошці записано 20 чисел: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Учитель стоїть спиною до дошки. Учні називають номер числа, а вчитель миттєво називає саме число. Поясніть, як мені це вдається?
Учитель пам'ятає формулу n-го члена a n = 3n - 2і, підставляючи задаються значення n, знаходить відповідні значення a n.
II. Постановка навчальної задачі.
Пропоную вирішити старовинну завдання, що відноситься до II-го тисячоліття до нашої ери, знайдену в єгипетському папірусі.
завдання:"Нехай тобі сказано: роздягли 10 мір ячменю між 10 людьми, різниця між кожною людиною і його сусідом дорівнює 1/8 заходи".
- Як це завдання пов'язана з темою арифметична прогресія? (Кожен наступний отримує на 1/8 заходи більше, значить різниця d = 1/8, 10 людина, значить n = 10.)
- А що, на вашу думку, означає число 10 заходів? (Сума всіх членів прогресії.)
- Що ще необхідно знати, щоб було легко і просто розділити ячмінь згідно з умовою завдання? (Перший член прогресії.)
завдання уроку- отримання залежності суми членів прогресії від їх числа, першого члена і різниці, і перевірка того, чи правильно в давнину вирішували поставлене завдання.
Перш ніж зробити висновок формули, подивимося, як вирішували завдання стародавні єгиптяни.
А вирішували її наступним чином:
1) 10 заходів: 10 = 1 міра - середня частка;
2) 1 міра ∙ = 2 заходи - подвоєна середнячастка.
подвоєна середнячастка - це сума часткою 5-го і 6-го чоловік.
3) 2 заходи - 1/8 заходи = 1 7/8 заходи - подвоєна частка п'ятого людини.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - частка п'ятого; і так далі можна знайти частку кожного попереднього і подальшого людини.
Отримаємо послідовність:
III. Рішення поставленого завдання.
1. Робота в групах
I-я група:Знайти суму 20 послідовних натуральних чисел: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.
У загальному вигляді 
II-а група:Знайти суму натуральних чисел від 1 до 100 (Легенда про маленького Гауса).
S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050
висновок:
III-я група:Знайти суму натуральних чисел від 1 до 21.
Рішення: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...
висновок:
IV-я група:Знайти суму натуральних чисел від 1 до 101.
висновок:
Цей метод вирішення розглянутих завдань називається "Метод Гаусса".
2. Кожна група представляє рішення задачі на дошці.
3. Узагальнення запропонованих рішень для довільної арифметичної прогресії:
a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Знайдемо цю суму розмірковуючи аналогічно:
4. Вирішили ми поставлене завдання?(Так.)
IV. Первинне осмислення і застосування отриманих формул при вирішенні завдань.
1. Перевірка рішення старовинної завдання по формулі.
2. Застосування формули при вирішенні різних завдань.
3. Вправи на формування вміння застосування формули при вирішенні завдань.
А) №613
Дано: ( а n) -арифметична прогресія;
(А n): 1, 2, 3, ... 1500
знайти: S 1500
Рішення: , а 1 = 1, а 1500 = 1500,
Б) Дано: ( а n) -арифметична прогресія;
(А n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
знайти: n
Рішення:
V. Самостійна робота з взаємоперевіркою.
Денис вступив на роботу кур'єром. У перший місяць його зарплата склала 200 рублів, в кожний наступний вона підвищувалася на 30 рублів. Скільки всього він заробив за рік?
Дано: ( а n) -арифметична прогресія;
а 1 = 200, d = 30, n = 12
знайти: S 12
Рішення:
Відповідь: 4380 рублів отримав Денис за рік.
VI. Інструктаж по домашньому завданню.
- п. 4.3 - вивчити висновок формули.
- №№ 585, 623 .
- Скласти задачу, яка вирішувалася б з використанням формули суми n перших членів арифметичної прогресії.
VII. Підведення підсумків уроку.
1. Оціночний лист
2. Продовж пропозиції
- Сьогодні на уроці я дізнався ...
- Вивчені формули ...
- Я вважаю що …
3. Чи зможеш ти знайти суму чисел від 1 до 500? Яким методом будеш вирішувати цю задачу?
Список літератури.
1. Алгебра, 9-й клас. Підручник для загальноосвітніх установ. Під ред. Г.В. Дорофєєва.М .: "Просвещение" 2009.