Чи з'ясувати вектор лінійною комбінацією векторів. Лінійна залежність векторів. Базис системи векторів. Визначення лінійної залежності системи векторів

Отже, завдання дослідження системи векторів на лінійну залежність зводиться до завдання знаходження рангу матриці, що складається з векторів цієї системи.

Слід зазначити, що з p>n система векторів буде лінійно залежною.

Зауваження: при складанні матриці А вектори системи можна брати не як рядки, а як стовпці.

Алгоритм дослідження системи векторів на лінійну залежність.

Розберемо алгоритм на прикладах.

Приклад дослідження системи векторів на лінійну залежність.

приклад.

Дана система векторів. Досліджуйте її на лінійну залежність.

Рішення.

Так як вектор з нульовою, то вихідна система векторів лінійно залежить від третього властивості.

Відповідь:

Система векторів лінійно залежить.

приклад.

Вивчіть систему векторів на лінійну залежність.

Рішення.

Не складно помітити, що координати вектора c дорівнюють відповідним координатам вектора , помноженим на 3 , тобто . Тому вихідна система векторів лінійно залежна.

Введені нами лінійні операції над векторамидають можливість складати різні вирази для векторних величинта перетворювати їх за допомогою встановлених для цих операцій властивостей.

З заданого набору векторів а 1 , ..., а n , можна скласти вираз виду

де а 1 ..., а n - довільні дійсні числа. Цей вираз називають лінійною комбінацією векторіва 1, ..., а n. Числа α i , i = 1, n , являють собою коефіцієнти лінійної комбінації. Набір векторів називають ще системою векторів.

У зв'язку з введеним поняттям лінійної комбінації векторів виникає задача опису безлічі векторів, які можуть бути записані у вигляді лінійної комбінації даної системи векторів а 1 ..., а n . Крім того, закономірні питання про умови, за яких існує уявлення вектора у вигляді лінійної комбінації, та про єдиність такого уявлення.

Визначення 2.1.Вектори а 1 ..., а n називають лінійно залежнимиякщо існує такий набір коефіцієнтів α 1 , ... , α n , що

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

і при цьому хоча б один із цих коефіцієнтів ненульовий. Якщо зазначеного набору коефіцієнтів немає, то вектори називають лінійно незалежними.

Якщо α 1 = ... = α n = 0, то, очевидно, α 1 а 1 + ... + α n а n = 0. Маючи це на увазі, можемо сказати так: вектори а 1 , ..., а n лінійно незалежні, якщо з рівності (2.2) випливає, що всі коефіцієнти 1, ... , n рівні нулю.

Наступна теорема пояснює, чому нове поняття названо терміном "залежність" (або "незалежність") і дає простий критерій лінійної залежності.

Теорема 2.1.Щоб вектори а 1 , ..., а n , n > 1, були лінійно залежні, потрібно й достатньо, щоб одне із них був лінійної комбінацією інших.

◄ Необхідність. Припустимо, що вектори а 1 ..., а n лінійно залежні. Згідно з визначенням 2.1 лінійної залежності, в рівності (2.2) зліва є хоча б один ненульовий коефіцієнт, наприклад, α 1 . Залишивши перший доданок в лівій частині рівності, перенесемо інші в праву частину, змінюючи, як завжди, у них знаки. Розділивши отриману рівність на α 1 , отримаємо

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

тобто. подання вектора a 1 як лінійної комбінації інших векторів а 2 , ..., а n .

Достатність. Нехай, наприклад, перший вектор а 1 можна подати у вигляді лінійної комбінації інших векторів: а 1 = β 2 а 2 + ... + β n а n. Перенісши всі складові з правої частини ліву, отримаємо а 1 - β 2 а 2 - ... - β n а n = 0, тобто. лінійну комбінацію векторів а 1 , ..., а n з коефіцієнтами α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , рівну нульовий вектор.У цій лінійній комбінації не всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Відповідно до визначення 2.1, вектори а 1 ..., а n лінійно залежні.

Визначення та критерій лінійної залежності сформульовані так, що мають на увазі наявність двох або більше векторів. Однак можна також говорити про лінійну залежність одного вектора. Щоб реалізувати таку можливість, потрібно замість "вектори лінійно залежні" говорити "система векторів лінійно залежна". Неважко переконатися, що вираз "система з одного вектора лінійно залежна" означає, що цей єдиний вектор є нульовим (у лінійній комбінації є лише один коефіцієнт, і він не повинен дорівнювати нулю).

Поняття лінійної залежності має просту геометричну інтерпретацію. Цю інтерпретацію проясняють такі три твердження.

Теорема 2.2.Два вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони колінеарні.

◄ Якщо вектори а і b лінійно залежні, один із них, наприклад а, виражається через інший, тобто. а = b для деякого дійсного числа . Відповідно до визначення 1.7 творивектора на число, вектори і b є колінеарними.

Нехай тепер вектори а та b колінеарні. Якщо вони обидва нульові, то очевидно, що вони лінійно залежні, тому що будь-яка їхня лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору. Нехай один із цих векторів не дорівнює 0, наприклад вектор b. Позначимо через λ відношення довжин векторів: λ = |а|/|b|. Колінеарні вектори можуть бути односпрямованимиабо протилежно спрямованими. В останньому випадку у λ змінимо знак. Тоді, перевіряючи визначення 1.7, переконуємось, що а = b. Відповідно до теореми 2.1, вектори а та b лінійно залежні.

Зауваження 2.1.У разі двох векторів, враховуючи критерій лінійної залежності, доведену теорему можна переформулювати так: два вектори колінеарні тоді і лише тоді, коли один з них представляється як твір іншого на число. Це є зручним критерієм колінеарності двох векторів.

Теорема 2.3.Три вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони компланарні.

◄ Якщо три вектори а, Ь, з лінійно залежними, то згідно з теоремою 2.1 один з них, наприклад а, є лінійною комбінацією інших: а = βb + γс. Сумісний початок векторів b і с у точці A. Тоді вектори βb, γс матимуть загальний початок у точці A і по правилу паралелограма їх сума,тобто. вектор а, буде вектор з початком A і кінцем, що є вершиною паралелограма, побудованого на векторах-доданків. Отже, всі вектори лежать у одній площині, т. е. компланарны.

Нехай вектори а, b, компланарні. Якщо один із цих векторів є нульовим, то очевидно, що він буде лінійною комбінацією інших. Достатньо всі коефіцієнти лінійної комбінації взяти рівними нулю. Тому можна вважати, що всі три вектори не є нульовими. Сумісний початкуцих векторів у загальній точці O. Нехай їх кінцями будуть відповідно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведемо прямі, паралельні прямим, що проходить через пари точок O, A і O, B. Позначивши точки перетину через A" та B", отримаємо паралелограм OA"CB", отже, OC" = OA" + OB" . OA" і ненульовий вектор а=OA колінеарні, а тому перший з них може бути отриманий множенням другого на дійсне число α:OA" = αOA . Аналогічно OB" = βOB , β ∈ R. В результаті отримуємо, що OC" = α OA + βOB , тобто вектор є лінійною комбінацією векторів а і b. Відповідно до теореми 2.1, вектори a, b, з є лінійно залежними.

Теорема 2.4.Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

◄ Доказ проводимо за тією самою схемою, що й у теоремі 2.3. Розглянемо довільні чотири вектори a, b, c і d. Якщо один із чотирьох векторів є нульовим, або серед них є два колінеарні вектори, або три з чотирьох векторів компланарні, то ці чотири вектори лінійно залежні. Наприклад, якщо вектори а і b колінеарні, то ми можемо скласти їх лінійну комбінацію αa + βb = 0 з ненульовими коефіцієнтами, а потім до цієї комбінації додати два вектори, взявши в якості коефіцієнтів нулі. Отримаємо рівну 0 лінійну комбінацію чотирьох векторів, де є ненульові коефіцієнти.

Таким чином, ми можемо вважати, що серед обраних чотирьох векторів немає нульових, жодні два не колінеарні і ніякі три не є компланарними. Виберемо як їхній загальний початок точку О. Тоді кінцями векторів a, b, с, d будуть деякі точки A, B, С, D (рис. 2.2). Через точку D проведемо три площини, паралельні площин ОВС, OCA, OAB, і нехай A", B", С" - точки перетину цих площин з прямими OA, OB, ОС відповідно. Ми отримуємо паралелепіпед OA"C"B"C" B"DA", і вектори a, b, з лежать на його ребрах, що виходять з вершини О. Так як чотирикутник OC"DC" є паралелограмом, то OD = OC" + OC". У свою чергу, відрізок ОС є діагоналлю паралелограма OA"C"B", тому OC" = OA" + OB" , а OD = OA" + OB" + OC" .

Залишається помітити, що пари векторів OA ≠ 0 і OA" , OB ≠ 0 і OB" , OC ≠ 0 і OC колінеарні, і, отже, можна підібрати коефіцієнти α, β, γ так, що OA" = αOA , OB" = βOB і OC" = γOC. Остаточно отримуємо OD = αOA + βOB + γOC. Отже, вектор OD виражається через решту трьох векторів, а всі чотири вектори, згідно з теоремою 2.1, лінійно залежні.

Вираз виду називається лінійною комбінацією векторів A 1 , A 2 ,...,A nз коефіцієнтами λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Визначення лінійної залежності системи векторів

Система векторів A 1 , A 2 ,...,A nназивається лінійно залежною, якщо існує ненульовий набір чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n, при якому лінійна комбінація векторів λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nдорівнює нульовому вектору, Тобто система рівнянь: має ненульове рішення.
Набір чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n є ненульовим, якщо хоча б одне з чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n на відміну від нуля.

Визначення лінійної незалежності системи векторів

Система векторів A 1 , A 2 ,...,A nназивається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація цих векторів λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nдорівнює нульовому вектору лише за нульового набору чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , Тобто система рівнянь: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θмає єдине нульове рішення.

Перевірити, чи є лінійно залежною система векторів

Рішення:

1. Складаємо систему рівнянь:

2. Вирішуємо її методом Гауса. Перетворення Жордано системи наведено у таблиці 29.1. При розрахунку праві частини системи не записуються оскільки вони дорівнюють нулю і за перетвореннях Жордана не змінюються.

3. З останніх трьох рядків таблиці записуємо дозволену систему, рівносильну вихіднійсистемі:

4. Отримуємо загальне рішення системи:

5. Задавши на власний розсуд значення вільної змінної x 3 =1, отримуємо приватне ненульове рішення X = (-3,2,1).

Відповідь: Таким чином, при ненульовому наборі чисел (-3,2,1) лінійна комбінація векторів дорівнює нульовому вектору -3A1+2A2+1A3=Θ. Отже, система векторів лінійно залежна.

Властивості систем векторів

Властивість (1)
Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один із векторів розкладається за іншими і, навпаки, якщо хоча б один із векторів системи розкладається за іншими, система векторів лінійно залежна.

Властивість (2)
Якщо якась підсистема векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Властивість (3)
Якщо система векторів лінійно незалежна, будь-яка її підсистема лінійно незалежна.

Властивість (4)
Будь-яка система векторів, що містить нульовий вектор, є лінійно залежною.

Властивість (5)
Система m-мірних векторів завжди є лінійно залежною, якщо число векторів n більше їх розмірності (n>m)

Базис системи векторів

Базисом системи векторів A 1 , A 2 ,..., A n називається така підсистема B 1 , B 2 ,...,B r(кожен із векторів B 1 ,B 2 ,...,B r є одним із векторів A 1 , A 2 ,..., A n) , яка задовольняє наступним умовам:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rлінійно-незалежна система векторів;
2. будь-який вектор A j системи A 1 , A 2 ,..., A n лінійно виражається через вектори B 1 ,B 2 ,...,B r

r- Число векторів входять в базис.

Теорема 29.1 Про одиничний базис системи векторів.

Якщо система m-мірних векторів містить m різних одиничних векторів E 1 E 2 ,..., E m , всі вони утворюють базис системи.

Алгоритм знаходження базису системи векторів

Для того, щоб знайти базис системи векторів A 1 ,A 2 ,...,A n необхідно:

• Скласти відповідну систему векторів однорідну систему рівнянь A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Навести цю систему

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Рішення.Шукаємо загальне рішення системи рівнянь

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

методом Гауса. Для цього запишемо цю однорідну систему за координатами:

Матриця системи

Дозволена система має вигляд: (r A = 2, n= 3). Система спільна та невизначена. Її загальне рішення ( x 2 – вільна змінна): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Наявність ненульового приватного рішення, наприклад, говорить про те, що вектори a 1 , a 2 , a 3 лінійно залежні.

приклад 2.

З'ясувати, чи дана система векторів є лінійно залежною або лінійно незалежною:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Рішення.Розглянемо однорідну систему рівнянь a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

або у розгорнутому вигляді (за координатами)

Система однорідна. Якщо вона невироджена, вона має єдине рішення. Що стосується однорідної системи – нульове (тривіальне) рішення. Отже, у разі система векторів незалежна. Якщо ж система вироджена, вона має ненульові рішення і, отже, вона залежна.

Перевіряємо систему на виродженість:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невироджена і, отже, вектори a 1 , a 2 , a 3 лінійно незалежні.

Завдання.З'ясувати, чи дана система векторів є лінійно залежною або лінійно незалежною:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Довести, що система векторів буде лінійно залежною, якщо вона містить:

а) два рівні вектори;

б) два пропорційні вектори.

Лінійна залежність та незалежність векторів

Визначення лінійно залежної та незалежної систем векторів

Визначення 22

Нехай маємо систему з n-векторів та маємо набір чисел
тоді

(11)

називається лінійною комбінацією даної системи векторів із цим набором коефіцієнтів.

Визначення 23

Система векторів
називається лінійно залежною, якщо існує такий набір коефіцієнтів
, з яких хоча б не дорівнює нулю, що лінійна комбінація даної системи векторів з цим набором коефіцієнтів дорівнює нульовому вектору:

Нехай
тоді

Визначення 24 (через уявлення одного вектора системи у вигляді лінійної комбінації інших)

Система векторів
називається лінійно залежною, якщо хоча б один із векторів цієї системи можна подати у вигляді лінійної комбінації інших векторів цієї системи.

Твердження 3

Визначення 23 та 24 еквівалентні.

Визначення 25(через нульову лінійну комбінацію)

Система векторів
називається лінійно незалежною, якщо нульова лінійна комбінація цієї системи можлива лише за всіх
рівних нулю.

Визначення 26(через неможливість уявлення одного вектора системи у вигляді лінійної комбінації інших)

Система векторів
називається лінійно незалежною, якщо не один із векторів цієї системи не можна уявити у вигляді лінійної комбінації інших векторів цієї системи.

Властивості лінійно залежної та незалежної систем векторів

Теорема 2 (нульовий вектор у системі векторів)

Якщо системі векторів є нульовий вектор, то система лінійно залежна.

 Нехай
тоді.

Отримаємо
, отже, за визначенням лінійно залежної системи векторів через нульову лінійну комбінацію (12) система лінійно залежна. 

Теорема 3 (Залежна підсистема в системі векторів)

Якщо системі векторів є лінійно залежна підсистема, те й система лінійно залежна.

 Нехай
- лінійно залежна підсистема
, серед яких хоча б одне не дорівнює нулю:

Отже, за визначенням 23 система лінійно залежна. 

Теорема 4

Будь-яка підсистема лінійно-незалежної системи лінійно незалежна.

 Від неприємного. Нехай система лінійно незалежна і в ній є лінійно залежна підсистема. Але тоді за теоремою 3 вся система буде також лінійно залежною. Протиріччя. Отже, підсистема лінійно незалежної системи може бути лінійно залежною. 

Геометричний зміст лінійної залежності та незалежності системи векторів

Теорема 5

Два вектори і лінійно залежні тоді і лише тоді, коли
.

 Необхідність.

і - лінійно залежні
, що виконується умова
. Тоді
, тобто.
.

Достатність.

Лінійно залежні. 

Наслідок 5.1

Нульовий вектор колінеарен будь-якому вектору

Наслідок 5.2

Для того щоб два вектори були лінійно незалежні, необхідно і достатньо, щоб був не колінеарен .

Теорема 6

Для того, щоб система з трьох векторів була лінійно залежна, необхідно і достатньо, щоб ці вектори були компланарними. .

 Необхідність.

- лінійно залежні, отже, один вектор можна подати у вигляді лінійної комбінації двох інших.

, (13)

де
і
. За правилом паралелограма є діагональ паралелограма зі сторонами
, але паралелограм – плоска фігура
компланарні
- теж компланарні.

Достатність.

- Компланарні. Прикладемо три вектори до точки:

C

B`

– лінійно залежні 

Наслідок 6.1

Нульовий вектор компланарен будь-якої пари векторів.

Наслідок 6.2

Для того, щоб вектори
були лінійно незалежні і необхідно, щоб вони були не компланарні.

Наслідок 6.3

Будь-який вектор площини можна у вигляді лінійної комбінації будь-яких двох неколлінеарних векторів цієї ж площини.

Теорема 7

Будь-які чотири вектори у просторі лінійно залежні. .

 Розглянемо 4 випадки:

Проведемо площину через вектори, потім площину через вектори та площину через вектори. Потім проведемо площини, що проходять через точку D, паралельні парам векторів; ; відповідно. По лініях перетину площин будуємо паралелепіпед OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Розглянемо OB 1 D 1 C 1 – паралелограм за побудовою за правилом паралелограма
.

Розглянемо OADD 1 – паралелограм (з властивості паралелепіпеда)
тоді

EMBED Equation.3.

За теоремою 1
такі, що . Тоді
, та за визначенням 24 система векторів лінійно залежна. 

Наслідок 7.1

Сумою трьох некомпланарних векторів у просторі є вектор, що збігається з діагоналлю паралелепіпеда, побудованого на цих трьох векторах, прикладених до загального початку, причому початок вектора суми збігається із загальним початком цих трьох векторів.

Наслідок 7.2

Якщо в просторі взяти 3 некомпланарні вектори, то будь-який вектор цього простору можна розкласти в лінійну комбінацію даних трьох векторів.