Кафедра «Вища математика»

Криволінійні інтеграли

Методичні вказівки

Волгоград

УДК 517.373(075)

Рецензент:

старший викладач кафедри "Прикладна математика" Н.І. Кольцова

Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради

Волгоградського державного технічного університету

Криволінійні інтеграли: метод. вказівки / сост. М.І.Андрєєва,

О.Є. Григор'єва; ВолгДТУ. - Волгоград, 2011. - 26 с.

Методичні вказівки є керівництвом до виконання індивідуальних завдань на тему «Криволінійні інтеграли та їх застосування до теорії поля».

У першій частині методичних вказівок міститься необхідний теоретичний матеріал для виконання індивідуальних завдань.

У другій частині розглянуто приклади виконання всіх типів завдань, включених до індивідуальних завдань на тему, що сприяє кращій організації самостійної роботи студентів та успішному засвоєнню теми.

Методичні вказівки призначені для студентів першого та другого курсів.

© Волгоградський державний

технічний університет, 2011

1. КРИВОЛІНІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ 1 РОДА

Визначення криволінійного інтегралу 1 роду

Нехай È АВ- дуга плоскої або просторової шматково-гладкої кривої L, f(P) – задана на цій дузі безперервна функція, А 0 = А, А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B АВі P i– довільні точки на часткових дугах А і – 1 A і, довжини яких D l i (i = 1, 2, …, n

при n® ¥ і max D l i® 0, який не залежить ні від способу розбиття дуги АВточками A і, ні від вибору точок P iна часткових дугах А і – 1 A і (i = 1, 2, …, n). Ця межа називається криволінійним інтегралом 1 роду від функції f(P) по кривій Lі позначається

Обчислення криволінійного інтеграла 1 роду

Обчислення криволінійного інтеграла 1 роду може бути зведено до обчислення певного інтеграла за різних способів завдання кривої інтегрування.

Якщо дуга È АВплоскою кривою задана параметрично рівняннями де x(t) та y(t t, причому x(t 1) = x A, x(t 2) = x B, то

де - Диференціал довжини дуги кривої.

Аналогічна формула має місце у разі параметричного завдання просторової кривої L. Якщо дуга È АВкривий Lзадана рівняннями x(t), y(t), z(t) – безперервно диференційовані функції параметра t, то

де - Диференціал довжини дуги кривої.

у декартових координатах

Якщо дуга È АВплоскою кривою Lзадана рівнянням де y(x

і формула для обчислення криволінійного інтеграла має вигляд:

При завданні дуги È АВплоскою кривою Lу вигляді x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
де x(y) – безперервно диференційована функція,

та криволінійний інтеграл обчислюється за формулою

(1.4)

Завдання кривої інтегрування полярним рівнянням

Якщо плоска крива Lзадана рівнянням у полярній системі координат r = r(j), j Î , де r(j) – безперервно диференційована функція, то

і

(1.5)

Додатки криволінійного інтеграла 1 роду

За допомогою криволінійного інтеграла 1 роду обчислюються: довжина дуги кривої, площа частини циліндричної поверхні, маса, статичні моменти, моменти інерції та координати центру важкості матеріальної кривої із заданою лінійною щільністю.

1. Довжина lплоскою або просторовою кривою Lзнаходиться за формулою

2. Площа частини циліндричної поверхні з паралельної осі OZутворює та розташованої в площині XOYспрямовуючою L, укладеної між площиною XOYі поверхнею, що задається рівнянням z = f(x; y) (f(P) ³ 0 при P Î L), дорівнює

(1.7)

3. Маса mматеріальної кривої Lз лінійною щільністю m( P) визначається формулою

(1.8)

4. Статичні моменти щодо осей Oxі Ойта координати центру тяжіння плоскої матеріальної кривої Lз лінійною щільністю m( x; y) відповідно рівні:

(1.9)

5. Статичні моменти щодо площин Oxy, Oxz, Oyzта координати центру тяжкості просторової матеріальної кривої з лінійною щільністю m( x; y; z) визначаються за формулами:

(1.11)

6. Для плоскої матеріальної кривої Lз лінійною щільністю m( x; y) моменти інерції щодо осей Ox, Ойі початку координат відповідно дорівнюють:

(1.13)

7. Моменти інерції просторової матеріальної кривої Lз лінійною щільністю m( x; y; z) щодо координатних площин обчислюються за формулами

(1.14)

а моменти інерції щодо координатних осей дорівнюють:

(1.15)

2. КРИВОЛІНІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ 2 РОДУ

Визначення криволінійного інтеграла 2 роду

Нехай È АВ– дуга шматково-гладкої орієнтованої кривої L, = (a x(P); a y(P); a z(P)) – задана на цій дузі безперервна векторна функція, А 0 = А, А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B- Довільне розбиття дуги АВі P i- Довільні точки на часткових дугах А і – 1 A і. Нехай – вектор із координатами D x i, D y i, D z i(i = 1, 2, …, n), і – скалярний добуток векторів та ( i = 1, 2, …, n). Тоді існує межа послідовності інтегральних сум

при n® ¥ і max ÷ ç ® 0, який не залежить ні від способу розбиття дуги АВточками A і, ні від вибору точок P iна часткових дугах А і – 1 A і
(i = 1, 2, …, n). Ця межа називається криволінійним інтегралом 2 роду від функції ( P) по кривій Lі позначається

У разі коли векторна функція задана на плоскій кривій L, аналогічно маємо:

При зміні напряму інтегрування криволінійний інтеграл 2 роду змінює знак.

Криволінійні інтеграли першого та другого роду пов'язані співвідношенням

(2.2)

де - одиничний вектор дотичної до орієнтованої кривої.

За допомогою криволінійного інтеграла 2 роду можна обчислювати роботу сили при переміщенні матеріальної точки по дузі кривій L:

Позитивним напрямом обходу замкнутої кривої З,що обмежує однозв'язкову область Gвважається обхід проти годинникової стрілки.

Криволінійний інтеграл 2 роди по замкнутій кривій Зназивається циркуляцією та позначається

(2.4)

Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду

Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду зводиться до обчислення певного інтегралу.

Параметричне завдання кривої інтегрування

Якщо È АВорієнтованою плоскою кривою задана параметрично рівняннями , де х(t) та y(t) – безперервно диференційовані функції параметра t, причому те

Аналогічна формула має місце у разі параметричного завдання просторової орієнтованої кривої L. Якщо дуга È АВкривий Lзадана рівняннями – безперервно диференційовані функції параметра t, то

Явне завдання плоскої кривої інтегрування

Якщо дуга È АВ Lзадана в декартових координатах рівнянням де y(x) - безперервно диференційована функція, то

(2.7)

При завданні дуги È АВплоскою орієнтованою кривою Lу вигляді
x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2], де x(y) – безперервно диференційована функція, справедлива формула

(2.8)

Нехай функції безперервні разом зі своїми похідними

у плоскій замкнутій області G, обмеженою кусково-гладкою замкнутою самонепересічною позитивно орієнтованою кривою З+. Тоді має місце формула Гріна:

Нехай G- Поверхнево-односвязная область, і

= (a x(P); a y(P); a z(P))

– задане у цій галузі векторне поле. Поле ( P) називається потенційним, якщо існує така функція U(P), що

(P) = grad U(P),

Необхідна та достатня умова потенційності векторного поля ( P) має вигляд:

rot ( P) = , де (2.10)

(2.11)

Якщо векторне поле є потенційним, то криволінійний інтеграл 2 роду не залежить від кривої інтегрування, а залежить лише від координат початку та кінця дуги М 0 М. Потенціал U(М) векторного поля визначається з точністю до постійного доданку і знаходиться за формулою

(2.12)

де М 0 М- Довільна крива, що з'єднує фіксовану точку М 0 та змінну точку М. Для спрощення обчислень як шлях інтегрування може бути обрана ламана М 0 М 1 М 2 Мзі ланками, паралельними координатним осям, наприклад:

3. приклади виконання завдань

Завдання 1

Обчислити криволінійний інтеграл I роду

де L – дуга крива , 0 ≤ x ≤ 1.

Рішення.За формулою (1.3) відомості криволінійного інтегралу I роду до певного інтегралу у разі гладкої плоскої явно заданої кривої:

де y = y(x), x 0 ≤ x ≤ x 1 – рівняння дуги Lкривою інтегрування. У цьому прикладі Знаходимо похідну цієї функції

та диференціал довжини дуги кривої L

то, підставляючи в цей вираз замість y, отримуємо

Перетворимо криволінійний інтеграл до певного:

Обчислюємо цей інтеграл за допомогою підстановки. Тоді
t 2 = 1 + x, x = t 2 – 1, dx = 2t dt; при x = 0 t= 1; а x= 1 відповідає. Після перетворень отримуємо

Завдання 2

Обчислити криволінійний інтеграл 1 роду по дузі Lкривий L:x= cos 3 t, y= sin 3 t, .

Рішення.Так як L- дуга гладкої плоскої кривої, заданої в параметричному вигляді, використовуємо формулу (1.1) відомості криволінійного інтеграла 1 роду до певного:

.

У цьому прикладі

Знайдемо диференціал довжини дуги

Знайдені вирази підставляємо у формулу (1.1) та обчислюємо:

Завдання 3

Знайти масу дуги лінії Lіз лінійною площиною m.

Рішення.Маса mдуги Lіз щільністю m( P) обчислюється за формулою (1.8)

Це криволінійний інтеграл 1 роду за параметрично заданою гладкою дугою кривою в просторі, тому він обчислюється за формулою (1.2) відомості криволінійного інтеграла 1 роду до певного інтегралу:

Знайдемо похідні

та диференціал довжини дуги

Підставляємо ці вирази у формулу для маси:

Завдання 4

приклад 1.Обчислити криволінійний інтеграл 2 роду

по дузі Lкривий 4 x + y 2 = 4 від точки A(1; 0) до точки B(0; 2).

Рішення.Плоска дуга Lзадана у неявному вигляді. Для обчислення інтеграла зручніше висловити xчерез y:

і знаходити інтеграл за формулою (2.8) перетворення криволінійного інтеграла 2 роду на певний інтеграл за змінною y:

де a x(x; y) = xy – 1, a y(x; y) = xy 2 .

З урахуванням завдання кривої

За формулою (2.8) отримуємо

Приклад 2. Обчислити криволінійний інтеграл 2 роду

де L– ламана ABC, A(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

Рішення. За якістю адитивності криволінійного інтегралу

Кожен з інтегралів-доданків обчислюємо за формулою (2.7)

де a x(x; y) = x 2 + y, a y(x; y) = –3xy.

Рівняння відрізка прямої AB: y = 2, y¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Підставляючи у формулу (2.7) ці вирази, отримуємо:

Для обчислення інтегралу

складемо рівняння прямої BCза формулою

де x B, y B, x C, y C– координати точок Bі З. Отримуємо

y – 2 = x – 3, y = x – 1, y¢ = 1.

Підставляємо отримані вирази у формулу (2.7):

Завдання 5

Обчислити криволінійний інтеграл 2 роди за дугою L

0 ≤ t ≤ 1.

Рішення. Так як крива інтегрування задана параметрично рівняннями x = x(t), y = y(t), t Î [ t 1 ; t 2], де x(t) та y(t) – безперервно диференційовані функції tпри t Î [ t 1 ; t 2 ], то для обчислення криволінійного інтеграла другого роду використовуємо формулу (2.5) відомості криволінійного інтеграла до певного для плоскої параметрично заданої кривої

У цьому прикладі a x(x; y) = y; a y(x; y) = –2x.

З урахуванням завдання кривої Lотримуємо:

Підставляємо знайдені вирази у формулу (2.5) та обчислюємо певний інтеграл:

Завдання 6

приклад 1. C + де З : y 2 = 2x, y = x – 4.

Рішення.Позначення C+ вказує, що обхід контуру здійснюється у позитивному напрямку, тобто проти годинникової стрілки.

Перевіримо, що для розв'язання задачі можна використати формулу Гріна (2.9)

Оскільки функції a x (x; y) = 2y – x 2 ; a y (x; y) = 3x + yта їх приватні похідні безперервні в плоскій замкнутій області G, обмеженою контуром C, тоформула Гріна застосовна.

Для обчислення подвійного інтеграла зобразимо область G, попередньо визначивши точки перетину дуг кривих y 2 = 2xі
y = x– 4, складових контур C.

Точки перетину знайдемо, розв'язавши систему рівнянь:

Друге рівняння системи рівносильне рівнянню x 2 – 10x+ 16 = 0, звідки x 1 = 2, x 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Отже, точки перетину кривих: A(2; –2), B(8; 4).

Оскільки область G– правильна у напрямку осі Ox, то для подвійного інтегралу до повторного спроектуємо область Gна вісь OYі скористаємося формулою

.

Так як a = –2, b = 4, x 2 (y) = 4+y, то

приклад 2.Обчислити криволінійний інтеграл 2 роду по замкнутому контуру де З– контур трикутника з вершинами A(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

Рішення.Позначення означає, що контур трикутника обходиться за годинниковою стрілкою. У випадку, коли криволінійний інтеграл береться по замкнутому контуру, формула Гріна набуває вигляду.

Зобразимо область G, обмежену заданим контуром.

Функції та приватні похідні та безперервні в області Gтому можна застосувати формулу Гріна. Тоді

Область Gне є правильною у напрямку будь-якої з осей. Проведемо відрізок прямий x= 1 і уявимо Gу вигляді G = G 1 È G 2 , де G 1 та G 2 області, правильні у напрямку осі Ой.

Тоді

Для зведення кожного з подвійних інтегралів з G 1 та G 2 до повторного будемо використовувати формулу

де [ a; b] – проекція області Dна вісь Ox,

y = y 1 (x) – рівняння нижньої кривої, що обмежує,

y = y 2 (x) – рівняння верхньої кривої, що обмежує.

Запишемо рівняння меж області G 1 і знайдемо

AB: y = 2x, 0 ≤ x ≤ 1; AD: , 0 ≤ x ≤ 1.

Складемо рівняння кордону BCобласті G 2 , використовуючи формулу

BC: де 1 ≤ x ≤ 3.

DC: 1 ≤ x ≤ 3.

Завдання 7

приклад 1.Знайти роботу сили L: y = x 3 від точки M(0; 0) до точки N(1; 1).

Рішення. Роботу змінної сили під час переміщення матеріальної точки по дузі кривої Lвизначаємо за формулою (2.3) (як криволінійний інтеграл другого роду від функції по кривій L) .

Так як векторна функція задана рівнянням і дуга плоскою орієнтованою кривою визначена явно рівнянням y = y(x), x Î [ x 1 ; x 2], де y(x) безперервно диференційована функція, то за формулою (2.7)

У цьому прикладі y = x 3 , , x 1 = x M = 0, x 2 = x N= 1. Тому

Приклад 2. Знайти роботу сили при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії L: x 2 + y 2 = 4 від точки M(0; 2) до точки N(–2; 0).

Рішення. Використовуючи формулу (2.3), отримуємо

.

У цьому прикладі дуга кривої L(È MN) – це чверть кола, що задається канонічним рівнянням x 2 + y 2 = 4.

Для обчислення криволінійного інтеграла другого роду зручніше перейти до параметричного завдання кола: x = R cos t, y = R sin tта скористатися формулою (2.5)

Так як x= 2cos t, y= 2sin t, , , отримуємо

Завдання 8

Приклад 1. Обчислити модуль циркуляції векторного поля вздовж контуру Г:

Рішення.Для обчислення циркуляції векторного поля вздовж замкнутого контуру Гскористаємося формулою (2.4)

Оскільки задане просторове векторне поле та просторовий замкнутий контур Г, то переходячи від векторної форми запису криволінійного інтеграла до координатної форми, отримуємо

Крива Гзадана як перетин двох поверхонь: гіперболічного параболоїда z = x 2 – y 2 + 2 та циліндра x 2 + y 2 = 1. Для обчислення криволінійного інтеграла зручно перейти до параметричних рівнянь кривої Г.

Рівняння циліндричної поверхні можна записати у вигляді:
x= cos t, y= sin t, z = z. Вираз для zу параметричних рівняннях кривої виходить підстановкою x= cos t, y= sin tрівняння гіперболічного параболоїда z = 2 + cos 2 t- sin 2 t= 2 + cos 2 t. Отже, Г: x= cos t,
y= sin t, z= 2 + cos 2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

Так як входять до параметричних рівнянь кривої Гфункції
x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = 2 + cos 2 tє безперервно диференційованими функціями параметра tпри tÎ , то криволінійний інтеграл знаходимо за формулою (2.6)

Обчислення обсягу зручніше вести у циліндричних координатах. Рівняння кола, що обмежує область D, конуса та параболоїда

відповідно набувають вигляду ρ = 2, z = ρ , z = 6 − ρ 2 . З огляду на те, що це тіло симетрично щодо площин xOz і yOz . маємо

	6− ρ 2
V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z				6 ρ − ρ 2 d ρ =

4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =

2 d ϕ =

4 ∫ 2 (3 ρ 2 −

∫ 2 d ϕ =

32π

Якщо не враховувати симетрію, то

6− ρ 2

32π

V = ∫

dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz =

3. КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

Узагальним поняття певного інтеграла у разі, коли областю інтегрування є деяка крива. Інтеграли такого роду називаються криволінійними. Розрізняють два типи криволінійних інтегралів: криволінійні інтеграли за довжиною дуги та криволінійні інтеграли за координатами.

3.1. Визначення криволінійного інтеграла першого типу (за довжиною дуги). Нехай функція f(x, y) визначена вздовж плоскої шматково-

гладкою1 кривою L, кінцями якої будуть точки A і B. Розіб'ємо криву L довільним чином на n частин точками M 0 = A , M 1 ... M n = B . на

кожній із часткових дуг M i M i + 1 виберемо довільну точку (x i , y i ) і обчислимо значення функції f (x, y) у кожній із цих точок. Сума

1 Крива називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична, що безперервно змінюється вздовж кривої. Шматково-гладкою кривою називається крива, що складається з кінцевого числа гладких шматків.

n− 1
σ n = ∑ f (x i , y i ) ∆ l i ,

i = 0

де ∆ l i – довжина часткової дуги M i M i + 1 називається інтегральною сумою

для функції f (x, y) по кривій L. Позначимо найбільшу із довжин
часткових дуг M i M i + 1 , i =
	0 ,n − 1 через λ , тобто λ = max ∆ l i .
		0 ≤i ≤n −1
Якщо існує кінцева межа І інтегральної суми (3.1)
прагненні до нуля найбільшою з довжин часткових дуг M i M i + 1 ,
залежить ні від способу розбиття кривої L на часткові дуги, ні від

вибору точок (x i , y i ) , то ця межа називається криволінійним інтегралом першого типу (криволінійним інтегралом за довжиною дуги)від функції f (x, y) по кривій L і позначається символом f (x, y) dl.

Таким чином, за визначенням
n− 1
I = lim ∑ f (xi, yi) ∆ li = ∫ f (x, y) dl.
λ → 0 i = 0

Функція f (x, y) називається в цьому випадку інтегрованої вздовж кривої L ,

крива L = AB - контуром інтегрування, А - початкової, а - кінцевої точками інтегрування, dl - елементом довжини дуги.

Зауваження 3.1. Якщо (3.2) покласти f (x , y ) ≡ 1 для ( x , y ) L , то

отримаємо вираз довжини дуги L у вигляді криволінійного інтегралу першого типу

l = ∫ dl.

Дійсно, з визначення криволінійного інтеграла випливає,
	dl = lim n − 1
		∆l	Lim l = l.
	λ → 0 ∑		λ→ 0
	i = 0
3.2. Основні властивості криволінійного інтегралу першого типу
аналогічні властивостям певного інтегралу:
1 про. ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y)] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl.
2 про. ∫ cf (x, y) dl = c ∫ f (x, y) dl, де с - константа.
				і L , не
3 про. Якщо контур інтегрування L розбитий на частини L

мають загальних внутрішніх точок, то

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y) dl + ∫ f (x, y) dl.

4 о. Відзначимо особливо, що величина криволінійного інтеграла першого типу не залежить від напрямку інтегрування, так як у формуванні інтегральної суми (3.1) беруть участь значення функції f (x , y )

довільних точках та довжини часткових дуг ∆ l i , які позитивні,

незалежно від того, яку точку кривої AB вважати початковою, а яку – кінцевою, тобто

	f (x, y) dl = f (x, y) dl .
3.3. Обчислення криволінійного інтеграла першого типу
зводиться до обчислення певних інтегралів.
	x = x (t)
Нехай крива L задана параметричними рівняннями		y= y(t)

Нехайα і β – значення параметра t , що відповідають початку (точка А) і

кінцю (точка В)

[α , β ]

x (t), y (t) і

похідні

x(t), y(t)

Безперервні,

f (x, y) -

безперервна вздовж кривої L. З курсу диференціального обчислення

функцій однієї змінної відомо, що

dl = (x(t))

+ (y (t))

∫ f (x, y) dl = f (x(t), y(t))

(x (t)

+ (y (t))

∫ x2 dl,

Приклад 3.1.

Обчислити

кола

x= a cos t

0 ≤ t ≤

y= a sin t

Рішення. Так як x (t) = a sin t, y (t) = a cos t, то

dl =

(− a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt

і за формулою (3.4) отримуємо

Cos 2t) dt =

sin 2t

∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a

3 ∫

πa 3

sin π

L задана

рівнянням

y = y(x) ,

a ≤ x ≤ b

y(x)

безперервна разом зі своєю похідною y

(x ) при a ≤ x ≤ b , то

dl =

1+ (y (x))

і формула (3.4) набуває вигляду

∫ f (x, y) dl = f (x, y(x))

(y (x))

L задана

x = x(y), c ≤ y ≤ d

x (y)

рівнянням

безперервна разом зі своєю похідною x (y ) при c ≤ y ≤ d , то

dl =

1+ (x (y))

і формула (3.4) набуває вигляду

∫ f (x, y) dl = f (x(y), y)

1 + (x (y))

Приклад 3.2. Обчислити ∫ ydl, де L – дуга параболи

2 x від

точки А (0,0) до точки (2,2).

Рішення . Обчислимо інтеграл двома способами, застосовуючи

формули (3.5) та (3.6)

1) Скористаємося формулою (3.5). Так як

2x (y ≥ 0), y ′

2 x =

2 x ,

dl =

1+ 2 x dx

3 / 2 2

1 (5

3 2 − 1) .

∫ ydl = ∫

2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/2 dx =

1 (2x + 1)

2) Скористаємося формулою (3.6). Так як

x = 2 , x

Y, dl

1+y

		y 1 + y 2 dy =		(1+y				/ 2 2
∫ ydl = ∫
				3 / 2

1 3 (5 5 − 1).

Зауваження 3.2. Аналогічно розглянутому, можна ввести поняття криволінійного інтеграла першого типу від функції f (x, y, z)

просторової шматково-гладкої кривої L :

Якщо крива L задана параметричними рівняннями

α ≤ t ≤ β , то

dl =

(x (t))

(y (t))

(z (t))

∫ f(x, y, z) dl =

= ∫

dt.

f(x(t), y(t), z(t)) (x(t))

(y (t))

(z (t))

x = x (t), y = y (t)

z = z (t)

приклад 3.3. Обчислити∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , де L – дуга крива

x= t cos t	0 ≤ t ≤ 2 π.
y = t sin t
z = t
	x′ = cost − t sint, y′ = sint + t cost, z′ = 1 ,
	dl =	(cos t − t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1 dt =

Cos2 t − 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt =

2 + t2 dt.

Тепер за формулою (3.7) маємо

∫ (2z −

x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t −

t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t)

2 + t 2 dt =

T 2 )

= ∫

t 2 + t

dt =

4 π

− 2 2

циліндричної

поверхні,

яка складена з перпендикулярів до

площині xOy ,

відновлених у точках

(x, y)

L = AB

і мають

є масою кривої L , що має змінну лінійну щільність ρ (x , y )

лінійна щільність якої змінюється згідно із законом ρ (x, y) = 2 y.

Рішення. Для обчислення маси дуги AB скористаємося формулою (3.8). Дуга AB задана параметрично, тому обчислення інтеграла (3.8) застосовуємо формулу (3.4). Так як

1+ t

dt,

x (t) = 1, y (t) = t, dl =

3/ 2 1

1 (1+ t

m = ∫ 2 ydl = ∫

1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt =

(2 3 / 2 −

1) =

2 2 − 1.

3.4. Визначення криволінійного інтеграла другого типу (за

координатам). Нехай функція

f (x , y ) визначена вздовж плоскою

шматково-гладкою кривою L , кінцями якої будуть точки А і В. Знову

довільним

розіб'ємо

криву L

M 0 = A , M 1 ,... M n = B Також виберемо в межах

кожної часткової

дуги M i M i + 1

довільну точку

(xi, yi)

і обчислимо

Лекція 5 Криволінійні інтеграли 1 і 2 роду, їх властивості. Завдання про масу кривої. Криволінійний інтеграл 1 роду. Завдання про масу кривої.Нехай у кожній точці шматково-гладкої матеріальної кривої L: (AB) задана її щільність . Визначити масу кривої. Вчинимо так само, як ми робили при визначенні маси плоскої області (подвійний інтеграл) та просторового тіла (потрійний інтеграл). 1. Організуємо розбиття області-дуги L на елементи – елементарні дуги так, щоб ці елементи не мали загальних внутрішніх точок та( умова А ) 3. Побудуємо інтегральну суму , де - Довжина дуги (зазвичай вводяться одні й ті ж позначення для дуги та її довжини). Це приблизне значення маси кривої. Спрощення полягає в тому, що ми припустили щільність постійної дуги на кожному елементі і взяли кінцеве число елементів. Переходячи до межі за умови (умова В ), отримаємо криволінійний інтеграл першого роду як межу інтегральних сум: . Теорема існування. Нехай функція безперервна на шматково-гладкій дузі L. Тоді криволінійний інтеграл першого роду існує як межа інтегральних сум. Зауваження.Межа ця не залежить від Властивості криволінійного інтеграла першого роду. 1. Лінійність а) властивість суперпозиції б) властивість однорідності . Доведення. Запишемо інтегральні суми для інтегралів у лівих частинах рівностей. Так як в інтегральній сумі кількість доданків звичайно, перейдемо до інтегральних сум для правих частин рівностей. Потім перейдемо до межі, за теоремою про граничний перехід у рівності отримаємо бажаний результат. 2. Адитивність. Якщо , то = + 3. .Тут – довжина дуги. 4. Якщо на дузі виконано нерівність, то Доведення. Запишемо нерівність для інтегральних сум та перейдемо до межі. Зауважимо, що, зокрема, можливо 5. Теорема про оцінку. Якщо існують константи, що, то Доведення. Інтегруючи нерівність (властивість 4), отримаємо . За якістю 1 константи можна винести з-під інтегралів. Використовуючи властивість 3, отримаємо результат, що шукається. 6. Теорема про середнє(Значення інтеграла). Існує точка , що Доведення. Так як функція безперервна на замкнутій обмеженій множині, то існує її нижня грань та верхня грань . Виконано нерівність. Ділячи обидві частини на L, отримаємо . Але число укладено між нижньою та верхньою гранню функції. Так як функція безперервна на замкнутій обмеженій множині L, то в деякій точці функція повинна набувати цього значення. Отже, . Обчислення криволінійного інтеграла першого роду. Параметризуємо дугу L: AB x = x (t), y = y (t), z = z (t). Нехай t 0 відповідає точці A, а t 1 відповідає точці B. Тоді криволінійний інтеграл першого роду зводиться до певного інтегралу ( - відома з 1 семестру формула для обчислення диференціала довжини дуги): приклад.Обчислити масу одного витка однорідної (щільність дорівнює k) гвинтової лінії: . Криволінійний інтеграл 2 роди. Завдання роботи сили. Яку роботу виконує силаF(M) при переміщенні точкиMпо дузіAB? Якби дуга AB була відрізком прямою, а сила була б постійною за величиною та напрямом при переміщенні точки M по дузі AB, то роботу можна було б обчислити за формулою , де кут між векторами. У випадку цю формулу можна використовуватиме побудови інтегральної суми, припускаючи силу постійної елементі дуги досить малої довжини. Замість довжини малого елемента дуги можна взяти довжину хорди, що стягує її, так як ці величини - еквівалентні нескінченно малі величини за умови (перший семестр). 1. Організуємо розбиття області-дуги AB на елементи – елементарні дуги так, щоб ці елементи не мали загальних внутрішніх точок та( умова А ) 2. Зазначимо на елементах розбиття «відзначені точки» M i та обчислимо в них значення функції 3. Побудуємо інтегральну суму , де вектор, спрямований по хорді, що стягує дугу . 4. Переходячи до межі за умови (умова В ), отримаємо криволінійний інтеграл другого роду як межу інтегральних сум (і роботу сили): . Часто позначають Теорема існування. Нехай вектор – функція безперервна на шматково-гладкій дузі L. Тоді криволінійний інтеграл другого роду існує як межа інтегральних сум. . Зауваження.Межа ця не залежить від Спосіб вибору розбиття, аби виконувалася умова А Вибір «відзначених точок» на елементах розбиття, Способу подрібнення розбиття, аби виконувалася умова В Властивості криволінійного інтеграла 2 роди. 1. Лінійність а) властивість суперпозиції б) властивість однорідності . Доведення. Запишемо інтегральні суми для інтегралів у лівих частинах рівностей. Так як в інтегральній сумі кількість доданків звичайно, використовуючи властивість скалярного твору, перейдемо до інтегральних сум для правих частин рівностей. Потім перейдемо до межі, за теоремою про граничний перехід у рівності отримаємо бажаний результат. 2. Адитивність. Якщо , то = + . Доведення. Виберемо розбиття області L так, щоб жоден з елементів розбиття (спочатку і при подрібненні розбиття) не містив одночасно елементи L 1 , так і елементи L 2 . Це можна зробити за теоремою існування (зауваження до теореми). Далі проводиться підтвердження через інтегральні суми, як у п.1. 3. Орієнтованість. = - Доведення. Інтеграл дугою –L, тобто. у негативному напрямі обходу дуги є межа інтегральних сум, у складових яких замість стоїть (). Виносячи «мінус» із скалярного твору та із суми кінцевого числа доданків, переходячи до межі, отримаємо необхідний результат. 16.3.2.1. Визначення криволінійного інтеграла першого роду.Нехай у просторі змінних x,y,z задана шматково-гладка крива, на якій визначено функцію f (x ,y ,z ). Розіб'ємо криву крапками на частин, на кожній з дуг виберемо довільну точку, знайдемо і довжину дуги, і складемо інтегральну суму. Якщо існує межа послідовності інтегральних сум при , що не залежить ні від способу розбиття кривої на дуги , ні від вибору точок , то функція f (x ,y ,z ) називається інтегрованою по кривій , а значення цієї межі називається криволінійним інтегралом першого роду, або криволінійним інтегралом по довжині дуги від функції f (x ,y ,z ) по кривій , і позначається (або ). Теорема існування.Якщо функція f (x ,y ,z ) безперервна на кусочно-гладкой кривою , вона інтегрована по цій кривої. Випадок замкнутої кривої.В цьому випадку як початкова і кінцева точка можна взяти довільну точку кривої. Замкнену криву надалі називатимемо контуромта позначати буквою З . Те, що крива, якою обчислюється інтеграл, замкнута, прийнято позначати кружечком на значок інтеграла: . 16.3.2.2. Властивості криволінійного інтеграла першого роду.Для цього інтеграла мають місце всі шість властивостей, справедливих для певного, подвійного, потрійного інтеграла лінійностідо теореми про середнє. Сформулювати та довести їх самостійно. Однак для цього інтеграла справедлива і сьома персональна властивість: Незалежність криволінійного інтеграла першого роду від напрямку проходження кривої:. Доведення.Інтегральні суми для інтегралів, що стоять у правій та лівій частинах цієї рівності, за будь-якого розбиття кривої та вибору точок збігаються (завжди довжина дуги ), тому рівні їх межі при . 16.3.2.3. Обчислення криволінійного інтеграла першого роду. приклади.Нехай крива задана параметричними рівняннями , де - безперервно диференційовані функції, і хай точкам , які задають розбиття кривої, відповідають значення параметра , тобто. . Тоді (див. розділ 13.3. Обчислення довжин кривих). За теоремою про середнє існує точка така, що . Виберемо точки , що виходять у цьому значенні параметра: . Тоді інтегральна сума для криволінійного інтеграла дорівнюватиме інтегральній сумі для певного інтеграла. Так як , то, переходячи до межі при рівності , отримаємо Таким чином, обчислення криволінійного інтеграла першого роду зводиться до обчислення певного інтеграла за параметром. Якщо крива задана параметрично, цей перехід не викликає труднощів; якщо дано якісний словесний опис кривої, то основною складністю може бути введення параметра на кривій. Ще раз наголосимо, що інтегрування завжди ведеться у бік зростання параметра. приклади. 1. Обчислити , де - один виток спіралі Тут перехід до певного інтегралу проблем не викликає: знаходимо і . 2. Обчислити той же інтеграл по відрізку прямої точки, що з'єднує, і . Тут прямого параметричного завдання кривої немає, тому на АВ потрібно ввести параметр. Параметричні рівняння прямої мають вигляд де - напрямний вектор - точка прямої. Як крапка беремо точку, як напрямний вектор- вектор: . Легко бачити, що точка відповідає значенню , точка - значенню , тому . 3. Знайти, де - частина перерізу циліндра площиною z =x +1, що лежить у першому октанті. Рішення:Параметричні рівняння кола - напрямної циліндра мають вигляд x =2cosj, y =2sinj, і оскільки z=x +1, то z = 2cosj+1. Отже, тому 16.3.2.3.1. Обчислення криволінійного інтеграла першого роду. Плоский випадок.Якщо крива лежить на будь-якій координатній площині, наприклад, площині Оху , і задається функцією , то, розглядаючи х як параметр, отримуємо таку формулу для обчислення інтеграла: . Аналогічно, якщо крива задається рівнянням , то . приклад.Обчислити , де - чверть кола , що лежить у четвертому квадранті. Рішення. 1. Розглядаючи х як параметр, отримуємо , тому 2. Якщо за параметр взяти змінну у , і . 3. Звичайно, можна взяти стандартні параметричні рівняння кола: . Якщо крива задана в полярних координатах, то і. 1 роду. 1.1.1. Визначення криволінійного інтегралу 1 роду Нехай на площині Оxyзадана крива (L).Нехай для будь-якої точки кривої (L)визначено безперервну функцію f(x; y).Розіб'ємо дугу АВлінії (L)точками А = P 0, P 1, P n = Вна nдовільних дуг P i -1 P iз довжинами ( i = 1, 2, n) (рис.27) Виберемо на кожній дузі P i -1 P iдовільну точку M i (x i ; y i) ,обчислимо значення функції f(x;y)у точці M i. Складемо інтегральну суму Нехай де. λ→0 (n→∞), не залежить ні від способу розбиття кривої ( L)на елементарні частини, ні від вибору точок M i криволінійним інтегралом 1 родувід функції f(x;y)(криволінійним інтегралом по довжині дуги) і позначають: Зауваження. Аналогічно вводити визначення криволінійного інтеграла від функції f(x; y; z)за просторовою кривою (L). Фізичний зміст криволінійного інтеграла 1 роду: Якщо (L)-плоска крива з лінійною площиною , то масу кривої знаходять за такою формулою: 1.1.2. Основні властивості криволінійного інтеграла 1 роду: 3. Якщо шлях інтегруваннярозбитий на такі частини що , і мають єдину загальну точку, то . 4. Криволінійний інтеграл 1 роду не залежить від напряму інтегрування: 5. , де - Довжина кривої. 1.1.3. Обчислення криволінійного інтеграла 1 роду. Обчислення криволінійного інтеграла зводять до обчислення певного інтегралу. 1. Нехай крива (L)задана рівнянням. Тоді Тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою. приклад Обчислити масу відрізка прямої від точки А(1;1)до точки В(2;4),якщо. Рішення Рівняння прямої через дві точки: . Тоді рівняння прямої ( АВ): , . Знайдемо похідну. Тоді. =. 2. Нехай крива (L)задана параметрично: . Тоді, тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою. Для просторового випадку завдання кривої: . Тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою. приклад Знайти довжину дуги кривої,. Рішення Довжину дуги знайдемо за формулою: . Для цього знайдемо диференціал дуги. Знайдемо похідні , , .Тоді довжина дуги: . 3. Нехай крива (L)задана у полярній системі координат: . Тоді Тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою. приклад Обчислити масу дуги лінії, 0≤ ≤, якщо. Рішення Масу дуги знайдемо за формулою: Для цього знайдемо диференціал дуги. Знайдемо похідну. 1.2. Криволінійний інтеграл 2 роди 1.2.1. Визначення криволінійного інтеграла 2 роду Нехай на площині Оxyзадана крива (L). Нехай на (L)задана безперервна функція f(x; y).Розіб'ємо дугу АВлінії (L)точками А = P 0, P 1, P n = Ву напрямку від точки Адо точки Уна nдовільних дуг P i -1 P iз довжинами ( i = 1, 2, n) (рис.28). Виберемо на кожній дузі P i -1 P iдовільну точку M i (x i ; y i), обчислимо значення функції f(x;y)у точці M i. Складемо інтегральну суму , де - довжина проекції дуги P i -1 P iна вісь Оx. Якщо напрямок руху вздовж проекції збігається з позитивним напрямком осі Оx, то проекцію дуг вважають позитивною, інакше - негативною. Нехай де. Якщо існує межа інтегральної суми при λ→0 (n→∞), що не залежить ні від способу розбиття кривої (L)на елементарні частини, ні від вибору точок M iу кожній елементарній частині, то цю межу називають криволінійним інтегралом 2 родивід функції f(x;y)(криволінійним інтегралом за координатою х) і позначають: Зауваження.Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл за координатою у: Зауваження.Якщо (L)- замкнута крива, то інтеграл по ній позначають Зауваження.Якщо на ( L) задано відразу три функції і від цих функцій існують інтеграли , , , той вираз: + + називають загальним криволінійним інтегралом 2 родита записують: 1.2.2. Основні властивості криволінійного інтеграла 2 роду: 3. При зміні напряму інтегрування криволінійний інтеграл 2 роду змінює свій знак. 4. Якщо шлях інтегрування розбитий на такі частини , і мають єдину загальну точку, то 5. Якщо крива ( L) лежить у площині: Перпендикулярної осі Ох, то = 0; Перпендикулярної осі Ой, то; Перпендикулярної осі Ozто =0. 6. Криволінійний інтеграл 2 роду по замкнутій кривій залежить від вибору початкової точки (залежить тільки напряму обходу кривої). 1.2.3. Фізичний зміст криволінійного інтеграла 2 роду. Робота Асили при переміщенні матеріальної точки одиничної маси з точки Мв точку Nвздовж ( MN) дорівнює: 1.2.4. Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду. Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду зводять до обчислення певного інтегралу. 1. Нехай крива ( L) задана рівнянням. приклад Обчислити, де ( L) - ламана OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4). Рішення Так як (рис.29), то 1)Рівняння (OA): , , 2) Рівняння прямої (AB): . 2. Нехай крива (L)задана параметрично: . Зауваження.У просторовому випадку: приклад Обчислити Де ( АВ)-відрізок від А(0;0;1)до B(2;-2;3). Рішення Знайдемо рівняння прямої ( АВ): Перейдемо до параметричного запису рівняння прямого (АВ). Тоді. Точці A(0;0;1)відповідає параметр tрівний: отже, t=0. Точці B(2;-2;3)відповідає параметр t, рівний: отже, t=1. При переміщенні від Адо У,параметр tзмінюється від 0 до 1 . 1.3. Формула Гріна. L) у т.ч. М(х; у; z)з осями Оx, Оy, Oz Попередній запис Швидкий VPN на iPhone і MAC - інструкція Що таке vpn на айпаді Наступний запис Айфон 6 з 128 срібний Нові статті "Калькулятор" на iPhone: приховані можливості стандартного iOS-додатку Огляд планшета третього покоління Apple Bluetooth – це стандарт безпечного бездротового перенесення даних між різними пристроями різного типу на невеликі відстані Топ кращих програм для айфона для перевірки батареї, які будуть вам корисні Бездротові навушники Apple підходять для Андроїд: як підключити Обмін iPhone на новий Де можна обміняти айфон 5s на 6 Як оплатити айтюнс з картки Як відкрити клавіатуру андроїд на максимальну зручність Як відкрити екранну клавіатуру за допомогою гарячих клавіш Астрономічні досліди Рівняння має сенс часу Інші планети та планетарні системи Рівняння теплопровідності у системах координат Популярні статті Закони сили, формули Основні види сил у динаміці Первісна та невизначений інтеграл, їх властивості Криволінійний інтеграл першого роду (за довжиною дуги) Побудова епюри матеріалів Що таке епюра n Випадки приведення до найпростішого вигляду Дослідницька робота Туман актуальність річний рух сонця Презентація на тему означає імена Швидкий VPN на iPhone і MAC - інструкція Що таке vpn на айпаді Айфон 6 з 128 срібний Усі права захищені 2023 Вгору